整數論的題目，求證：若(a,b)=1,則(ab,a±b)=1
若(a,b)=1,則(ab,a±b)=1為什麼? 以下求證『若(a,b)=1, 則(ab, a＋b)=1』
假設 (ab, a+b) = d > 1 [color=Gray](待會要證明這是不可能的，因為最後會產生矛盾...)[/color]
則 ∵ d | [b]a+b[/b] 且 d | [color=Red][b]ab[/b][/color] ∴ d | [color=Blue][b](a+b)[/b][/color]×a - [color=Red][b]ab[/b][/color]×1 → d | a^2
同理 ∵ d | [b]a+b[/b] 且 d | [color=Red][b]ab[/b][/color] ∴ d | [color=Blue][b](a+b)[/b][/color]×b - [color=Red][b]ab[/b][/color]×1 → d | b^2
因為 d | a^2 且 d | b^2 ，也就是說 d 是 a^2 與 b^2 的公因數
所以 d | (a^2, b^2)
另外 ∵(a,b)=1 ∴(a^2, b^2)=1
所以 d | 1 ，且因為 d 為正數[color=Gray](最大公因數都嘛是正的喔！)[/color]，所以 d = 1 這與剛開始假設的 d > 1 互相矛盾。
故 (ab, a+b) = 1
相同的方法，可以證得 『若(a,b)=1,則(ab, a - b)=1』
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