整數論題目，求某已知數的正因數中完全m次方數的個數
將正整數n表成質因數標準分解式:n=p1^a1*p2^a2*.....*pk^ak,其中p1,p2,.....,pk為質數,則:所有正因數中完全m次方者共有?個,其中[x]為高斯符號,表示不大於x的最大整數
其實我有這題的解答,但我怎麼看也看不懂:
(1+[a1/m])(1+[a2/m])......(1+[ak/m])
還有最後那個什麼高斯符號的是什麼意思?跟這題有什麼關係? 高斯符號：對 x 取高斯符號，就是求不超過 x 的最大整數。
例如： [5.2] = 5 (∵小餘或等於 5.2 的最大整數值就是 5)
[6] = 6 (∵小餘或等於 6 的最大整數值就是 6)
[-2] = -2 (∵小餘或等於 -2 的最大整數值就是 -2)
[-3.9] = -4 (∵小餘或等於 -3.9 的最大整數值就是 -4)
高斯符號可以用來求 1~n 裡面 k 的倍數的個數，
例如：要求 1~100 裡面三的倍數的數字有幾個？
假設那個三的倍數的數字叫做 3m (m是某個整數)，則 1≦3m≦100 ，
→ 1/3 ≦m≦100/3 → ∵m 是整數 ∴m = 1,2,3,...33，
最後一個 33 就是不超過100/3的最大整數值，
也就是說 m=1,2,3,..., [100/3] ，共有 [100/3] 個數字
因此，[color=blue]1,2,3,...,n 裡面是 k 的倍數的數字個數有 [n/k] 個[/color]
∵ 0是任意整數的倍數 ∴[color=blue]0~n 裡面 k 的倍數的數字個數共有 1 + [n/k] 個[/color]
至於你寫的那個公式，
我舉個例子好了，
若 n= 2^12 × 3^10 × 5^2
要問 n 的正因數裡面完全 3 次方的有幾個？
則，n 的正因數一定形如 2^▽ × 3^☆ × 5^★，
其中 ▽=0, 1, 2,... , or 12，☆=0, 1, 2, ..., or 10，★=0, 1, or 2
(註：對任何非零的實數 a ，a^0 = 1 )
∵n的這個正因數要是完全三次方
∴▽=0, 3, 6, 9, or 12 (五個)，☆=0, 3, 6, or 9(四個)，★=0(一個)
▽可能的值有多少個＝0~12 裡面是3的倍數的數字的個數＝1+[12/3]=1+4=5個
☆可能的值有多少個＝0~10 裡面是3的倍數的數字的個數＝1+[10/3]=1+3=4個
★可能的值有多少個＝0~2 裡面是3的倍數的數字的個數＝1+[2/3]=1+0=1個
所以 n 的完全三次方的正因數個數共有 5×4×1 = 20 個。 我懂了!
謝謝你為我寫了那麼多式子^^ 討論數學是件開心的事~~ ^__^
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