請教3題（平面向量，圓與直線）
如附件,謝謝!回復 1# thankyou 的帖子
題目： \(\vec{OP}=2\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}, \vec{OQ}=\vec{OA}+2\vec{OB}+\vec{OC}, \vec{OR}=\vec{OA}+\vec{OB}+2\vec{OC}\)，\(\left|\vec{CA}\right|=2+\left|\vec{CB}\right|=2\vec{CA}\cdot\vec{CB}=4\)，求 \(\triangle PQR\) 面積？解答：
\(\overline{CA} = 4\)，\(\overline{CB} = 2\)，\(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 2\)
\(\displaystyle \Rightarrow \cos\angle ACB = \frac{1}{4}\)，\(\displaystyle \Rightarrow \sin\angle ACB = \frac{\sqrt{15}}{4}\)
又
\(\vec{OP} = \left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)+\vec{OA}\)
\(\vec{OQ} = \left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)+\vec{OB}\)
\(\vec{OR} = \left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)+\vec{OC}\)
可知 \(\triangle PQR\) 是將 \(\triangle ABC\) 平移 \(\left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)\) 而得，
\(\triangle PQR\) 面積 \(= \triangle ABC\) 面積 \(\displaystyle = \frac{1}{2}\times4\times2\times \frac{\sqrt{15}}{4}=\sqrt{15}\)
另解：
\(\vec{RP} = \vec{OP}-\vec{OR} = \left(2\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)-\left(\vec{OA}+\vec{OB}+2\vec{OC}\right)=\vec{OA}-\vec{OC}=\vec{CA}\)
\(\vec{RQ} = \vec{OQ}-\vec{OR} = \left(\vec{OA}+2\vec{OB}+\vec{OC}\right)-\left(\vec{OA}+\vec{OB}+2\vec{OC}\right)=\vec{OB}-\vec{OC}=\vec{CB}\)
\(\triangle PQR\) 面積 \(\displaystyle=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{RP}\right|^2\left|\vec{RQ}\right|^2-\left(\vec{RP}\cdot\vec{RQ}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{CA}\right|^2\left|\vec{CB}\right|^2-\left(\vec{CA}\cdot\vec{CB}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4^2\times2^2-2^2}=\sqrt{15}\)
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題目：設 \(A\left(-2,5\right), B\left(12,47\right)\)，點 \(P\) 在射線 \(AB\) 上，即 \(\vec{AP} = t \vec{AB}\)，若線段 \(AP\) 上有 \(15\) 個格子點，且 \(P\left(x_0,y_0\right)\)，則 \(x_0\) 的範圍？解答：
\(\vec{AB} = \left(14, 42\right) = 14\left(1,3\right)\)
可知 \(\overline{AB}\) 恰有 \(15\) 個格子點，且 \(\overline{AB}\) 的兩端點 \(A,B\) 為格子點，
依題述 \(\overline{AP}\) 上有 \(15\) 個格子點，可知
\(\vec{AP} = \vec{AB}+s\left(1,3\right)\)，其中 \(0\leq s<1\)
故 \(12\leq x_0<13\)
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題目：設 \(m\) 為實數,若圓 \(x^2+y^2+4x-7y+10=0\) 與直線 \(y=m\left(x+3\right)\) 的兩個交點在不同的象限，滿足此條件的 \(m\) 的最大範圍為 \(a<m<b\)，求 \(a,b\) 之值？解答：
令 \(A\left(-3,0\right), B\left(0,5\right), C\left(0,2\right)\)
[attach]3792[/attach]
畫圖可知此圓通過第一、第二象限，且圓與 \(y\) 軸（\(x=0\)）交於 \(B,C\) 兩點，
因直線 \(y=m\left(x+3\right)\) 必過 \(A\)，
可知當此直線與圓的交點在兩個不同的象限時，
此直線必介在 直線\(AC\) 與 直線\(AB\)之間，
故， \(\displaystyle\frac{2}{3}<m<\frac{5}{3}\)
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謝謝weiye老師的解說,我明白了!頁:
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