106大學入學學測數學試題+詳解
今天下午的敬106年大學入學學力測驗數學試題+詳解
請卓參 PTT網友提出需修正的地方
[url]https://www.ptt.cc/bbs/SENIORHIGH/M.1484928628.A.43F.html[/url]
→ WINNICK : 多選11題第(4)選項：角ADB前少了sin 01/21 04:07
→ WINNICK : 多選12題：50-x 的最大值 27 誤植為 21 了 01/21 04:07
→ WINNICK : 選填B：係數積後面的算式有小錯誤 01/21 04:07
→ WINNICK : 選填G：兩條直線方程式的右式部分 t 均誤植為 y 了 01/21 04:08
→ WINNICK : 單選1：x應為r1，y應為r2 01/21 04:14
106大學入學學測數學試題+詳解
謝謝bugmens老師指正106.1.21
我幫你將檔案更新，下載數目才會持續累積。 [quote]原帖由 [i]俞克斌[/i] 於 2017-1-21 08:42 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=16464&ptid=2673][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
謝謝bugmens老師指正
106.1.21
我幫你將檔案更新，下載數目才會持續累積。 [/quote]
選填題G 的圖有個小瑕疵....\((0,3t)\)及\((0,3t+18)\) 最近數學家發現一種新的可以無縫密鋪平面的凸五邊形\(ABCDE\)，其示意圖如下。關於這五邊形，請選出正確的選項：
(1)\(\overline{AD}=2\sqrt{2}\)
(2)\(∠DAB=45^{\circ}\)
(3)\(\overline{BD}=2\sqrt{6}\)
(4)\(∠ABD=45^{\circ}\)
(5)\(\Delta BCD\)的面積為\(2\sqrt{2}\)
科學教育月刊 第577期
[url]http://scimonth.blogspot.com/2017/12/blog-post_34.html[/url]
[b]談電腦輔助證明[/b]
這個月的專欄來談談電腦輔助證明，我們來看看幾個例子。
[b]五邊形拼平面[/b]
先回憶一下前（2016）年4 月份的本專欄文章〈拼滿平面的五邊形〉，數學家對用全等的凸多邊形能否週期性地拼滿整個平面非常感興趣。因為用任意三角形一定可以鋪滿平面，要判斷四邊形是否能鋪滿平面也不難，六邊形以上因為內角和的關係不可能，所以，只剩下五邊形。那篇專欄中，說明了這100 年間，一路下來只找到15 種五邊形可以鋪滿平面，而且第15 種還是在2015 年才找到的（圖一）。因為長度和角度都是「漂亮的」，這個形狀也成為2016 年大學學測的題目。
[img]https://2.bp.blogspot.com/-XooL3Brw_vQ/WkNVZcPd-0I/AAAAAAAAGaE/gSGuzIiuLO4LUYtM9g6k89KfBU0jBd0KwCLcBGAs/s320/%25E6%2593%25B7%25E5%258F%25964.PNG[/img]
圖一
而其實，第15 種是用電腦搜尋出來的，是否只有15 種？還是一個有名的未解問題，至少在去年我寫專欄的時候還是一個未解問題。
今年7 月，法國國家科學研究中心（Centre national de la recherche scienti que, CNRS）的研究員拉奧（Michaël Rao）宣稱終結了這個問題。他的結果是拼滿平面的五邊形就只有這15 種。拉奧的證明用到了電腦輔助證明。他先透過數學方式把整個問題分成371 類，然後再用電腦進行大量的計算處理。目前論文已經投稿，還在接受同儕的審查中，所以此證明是否能證明真的只有這15種可能還要再等一陣子才知道。然現今數學界類似這種「證明中的一大部分是電腦完成」的證明，真的是愈來愈多了。
其中文章所提到的拉奧可以在以下的連結找到論文
[url]https://perso.ens-lyon.fr/michael.rao/publi.php?lang=fr[/url]
Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane [url=https://perso.ens-lyon.fr/michael.rao/publi/penta.pdf]論文(draft)[/url] [url=http://www.crm.umontreal.ca/2017/Pavages17/pdf/Rao1_slides.pdf]簡報(slides)[/url] [url=http://www.arthy.org/pentatiles.tgz]原始碼(preliminary version of the code)[/url] [b]一本畢業論文成為「凸五邊形鑲嵌之謎」的開端[/b]
接下來我們來談談關於五邊形鑲嵌。雖然正五邊形並不能填滿平面，但目前為止已發現15種將邊長及角度改變後便能填滿平面的不規則凸五邊形。有趣的是這15種凸五邊形之中，有3分之1以上都不是由數學家發現的。
第一次用數學來解釋凸五邊形鑲嵌的是在至今約100年前的1918年，由德國法蘭克福大學(Goethe University Frankfurt)的萊因哈特(Karl Reinhardt)在學士論文中所發表的「5種能夠鑲嵌的凸五邊形」。論文的內容是將這5種凸五邊形設定好邊長及角度等條件，「只要能滿足這些條件的凸五邊形，就必定能夠填滿平面」。
例如，右圖中第1種類型的凸五邊形的條件便是：「一組連續三個角的總和需為360度」。雖然能夠滿足這個條件的凸五邊形非常多，但也確實不論是哪種凸五邊形都能夠填滿平面。萊因哈特的發現，正是現在仍持續受到討論的難題，亦即「能夠填滿平面的凸五邊形有多少種」的開端。
萊因哈特同時還證明了能夠填滿平面的凸六邊形只有3種，以及不存在任何大於凸七邊形且能夠填滿平面的形狀。
此即表示，關於凸多邊形鑲嵌之謎，此時此刻就只剩下凸五邊形還未解完了。
[b]新類型的發現者為家庭主婦[/b]
1968年，名為克什納(Richard Kershner)的數學家在數學期刊中發表了另外3種可以填滿平面的凸五邊形(第6~8種類型)。之後的一段時間，大家都一直認為能夠填滿平面的凸五邊形只有萊因哈特與克什納發現的8種而已。最後打破這個停滯狀態的都為「不是數學家的人」。
從1975年到1977年，另外5種可填滿平面的凸五邊形又被發現了。發現第10種類型凸五邊形的是電腦科學家詹姆士(Richard James Ⅲ)，發現第9、11、12、13種類型的則是家庭主婦賴斯(Marjorie Rice)。他們二位都不是在大學研究數學的數學家。賴斯更是已經從高中畢業35年了！
賴斯對凸五邊形鑲嵌產生興趣的契機，是1975年刊載在科學期刊《Scientific American》上，數學家加德納(Martin Gardner，1914~2010)的專欄。賴斯原本就對拼布有興趣，加上閱讀了介紹多邊形鑲嵌的該專欄後，便利用育兒的空閒時間，開始思考許多凸五邊形鑲嵌的圖樣。賴斯將思考出來的圖樣寄送給加德納後，數學家們證實了那些是能夠填滿平面的新類型凸五邊形。
在之後的1985年，大學生施泰因(Rolf Stein)發表了第14種類型的凸五邊形。再之後的2015年，數學家凱西．曼(Casey Mann)等人利用超級電腦，發現了第15種類型的凸五邊形。
目前，可以填滿平面的凸五邊形已被報告共有15種，專家還在持續驗證中。如果15種就是全部的話，就等於其中3分之1以上都是由非數學家的人所發現的。日本鑲嵌設計協會荒木義明會長表示：「鑲嵌是一種即使是幼童也能透過實際排列圖形，來體會數學美感及趣味的領域。」
本文節錄自牛頓雜誌第126號
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