多項方程式
請問我這題的作法有沒有錯？設\(a,b\)為實數，若方程式\(x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0\)至少有一實根，則\(a^2+b^2\)之最小值為[u] [/u]
答案是 4/5
感恩
回復 1# rotch 的帖子
應是\(f\left( 2 \right)\le 0\)或\(f\left( -2 \right)\le 0\)而\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)之最小值為原點到直線\(2a+b+2=0\)或\(-2a+b+2=0\)的距離之平方 \(設a,b \in R ,若方程式x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 至少有一實根
則a^2+b^2的最小值為？
\)
[解]
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle(x^2 + \frac{1}{{x^2 }}) + a(x+ \frac{1}{x})+b = 0 \\
令\displaystyle t = x + \frac{1}{x},t \ge 2{\rm{ }}或{\rm{ }} t \le - 2 \\
\displaystyle可得f(t)= t^2 + at + b - 2 = 0至少有一實根 \\
\end{array}
\)
[img]https://upload.cc/i/wYDClS.png[/img]
\(即當不滿足f(2)>0,f(-2)>0時，即為可行解區域\)
回復 3# eyeready 的帖子
請問為什麼 f(2) 與 f(-2) 都大於0？感恩
回復 2# thepiano 的帖子
所以答案應該是 4，對嗎？回復 4# rotch 的帖子
從圖形上可判別出當\(f(-2)和f(2) \)同時大於0時，沒有交點，因此在此範圍內無實根，其餘情況皆有實根頁:
[1]