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s7908155 發表於 2017-1-12 14:12

請教一題類似餘弦的題目

a,b,c屬於實數,若(a^2+b^2-c^2)/2ab  + (b^2+c^2-a^2)/2bc + (a^2+c^2-b^2)/2ac =1
求((a^2+b^2-c^2)/2ab)^3 + ( (b^2+c^2-a^2)/2bc )^3 + ((a^2+c^2-b^2)/2ac)^3=?

thepiano 發表於 2017-1-12 15:47

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[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2017-1-12 03:50 PM 編輯 [/i]]

eyeready 發表於 2017-1-12 22:17

回復 1# s7908155 的帖子

\(
\displaystyle \begin{array}{l}
\displaystyle \forall a,b,c \in R \\
若\displaystyle \frac{{a^2 + b^2 - c^2 }}{{2ab}} + \frac{{b^2 + c^2 -a^2 }}{{2bc}} + \frac{{c^2 + a^2 - b^2 }}{{2ca}} = 1 \\
求\displaystyle\left( {\frac{{a^2 + b^2 - c^2 }}{{2ab}}} \right)^3 + \left( {\frac{{b^2 + c^2 - a^2 }}{{2bc}}} \right)^3 + \left( {\frac{{c^2 + a^2 - b^2 }}{{2ca}}} \right)^3= ? \\
\end{array}

\)
[解]
[color=Blue]承上述thepiano大大圖解[/color],容小弟把算式補齊
承蒙thepiano提點
\(a+b-c,b+c-a,c+a-b\) [color=Red]三式中任兩式不可能同時成立[/color],故取\(a+b-c=0\)代入所求即可

\(
\begin{array}{l}
   \displaystyle \left( {\frac{{a^2 + b^2 - c^2 }}{{2ab}}} \right)^3 + \left( {\frac{{b^2 + c^2 - a^2 }}{{2bc}}} \right)^3 + \left( {\frac{{c^2 + a^2 - b^2 }}{{2ca}}} \right)^3  \\


= \displaystyle\left( {\frac{{(a + b)^2 - c^2 }}{{2ab}} - 1} \right)^3 + \left( {\frac{{(b - c)^2 - a^2 }}{{2bc}} + 1} \right)^3 + \left( {\frac{{(c - a)^2 - b^2 }}{{2ca}} + 1} \right)^3  \\
=-1+1+1=1

\end{array}
\)

[備註]
從題目已知條件可推得
\(a^3+b^3+c^3-ab^2-bc^2-ca^2-a^2b-ba^2-cb^2-ac^2+2abc=0 \)為三次輪換式,因此因式分解形式也必為輪換式,
其中常見的形式有\(a + b + c,a + b - c,a - b - c,abc \),可假設\(b+c=-a,b+c=a,a=0 \),代入上式判別是否為0,可快速找出因式分解形態

[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2017-1-13 10:04 AM 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2017-1-13 06:22

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原題的答案是 1

thepiano 發表於 2017-1-13 09:46

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a + c - b、a + b - c、b + c - a 只能有一個為 0

eyeready 發表於 2017-1-13 10:02

回復 5# thepiano 的帖子

謝謝賜教,受益良多!

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