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人生沒有太多的應該,
只有感謝。

eyeready 發表於 2016-12-2 17:35

請教一題極限

計算\( \displaystyle \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left[ \left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\cdots \left( n+n \right) \right]}^{\frac{1}{n}}}}{n} \)

thepiano 發表於 2016-12-2 18:53

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\(\begin{align}
  & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left[ \left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\cdots \left( n+n \right) \right]}^{\frac{1}{n}}}}{n} \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left[ \left( 1+\frac{1}{n} \right)\left( 1+\frac{2}{n} \right)\cdots \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right]}^{\frac{1}{n}}} \\
& ={{e}^{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left[ \ln \left( 1+\frac{1}{n} \right)+\ln \left( 1+\frac{2}{n} \right)+\cdots +\ln \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right]}} \\
& ={{e}^{\int_{1}^{2}{\ln xdx}}} \\
& ={{e}^{\ln 4-1}} \\
& =\frac{4}{e} \\
\end{align}\)

eyeready 發表於 2016-12-2 19:11

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感謝^ ^!

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