Math Pro 數學補給站's Archiver

如果你覺得現在走的辛苦,
那就證明你在走上坡路

Chen 發表於 2016-7-3 08:51

有關高斯整數符號

習題:

證明 [ ( 3 + √7 )^n ] 為奇數,其中 n 為正整數。

thepiano 發表於 2016-7-3 09:14

回復 1# Chen 的帖子

考慮\({{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{n}}+{{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{n}}\)

weiye 發表於 2016-7-3 09:18

令 \(\alpha=3+\sqrt{7}\),\(\beta=3-\sqrt{7}\)

\(\Rightarrow \alpha+\beta=6, \alpha^2+\beta^2=32\) 都是偶數,

另由根與係數關係式,可知 \(\alpha, \beta\) 為 \(x^2-6x+2=0\) 之兩根,

\(\Rightarrow \left(\alpha^n+\beta^n\right)=6\left(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}\right)-2\left(\alpha^{n-2}+\beta^{n-2}\right),\,\forall n\geq3,n\in\mathbb{N}\),

\(\Rightarrow\) 對任意 \(n\in\mathbb{N}\),\(\left(\alpha^n+\beta^n\right)\) 恆為偶數,

且由 \(\alpha^n = \left(\alpha^n+\beta^n-1\right) + \left(1-\beta^n\right)\)

因為 \(0<\beta<1\),所以 \(0<\beta^n<1\Rightarrow 0<\left(1-\beta^n\right)<1\) ,

   且 \(\left(\alpha^n+\beta^n-1\right)\in\mathbb{Z}\)

可知 \(\left[\alpha^n\right] = \left(\alpha^n+\beta^n-1\right)\) 恆為奇數。





註:或由二項式定理直接展開並相加,亦可知 \(\left(\alpha^n+\beta^n\right)\) 恆為偶數。

Chen 發表於 2016-7-3 13:30

回復 3# weiye 的帖子

謝謝您的詳解!!(後面的觀察很細緻)

Ellipse 發表於 2016-7-3 22:35

[quote]原帖由 [i]Chen[/i] 於 2016-7-3 01:30 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15867&ptid=2550][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
謝謝您的詳解!!(後面的觀察很細緻) [/quote]

這題教甄常考

頁: [1]

論壇程式使用 Discuz! Archiver   © 2001-2022 Comsenz Inc.