有關高斯整數符號
習題：證明 [ ( 3 + √7 )^n ] 為奇數，其中 n 為正整數。
回復 1# Chen 的帖子
考慮\({{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{n}}+{{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{n}}\) 令 \(\alpha=3+\sqrt{7}\)，\(\beta=3-\sqrt{7}\)\(\Rightarrow \alpha+\beta=6, \alpha^2+\beta^2=32\) 都是偶數，
另由根與係數關係式，可知 \(\alpha, \beta\) 為 \(x^2-6x+2=0\) 之兩根，
\(\Rightarrow \left(\alpha^n+\beta^n\right)=6\left(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}\right)-2\left(\alpha^{n-2}+\beta^{n-2}\right),\,\forall n\geq3,n\in\mathbb{N}\)，
\(\Rightarrow\) 對任意 \(n\in\mathbb{N}\)，\(\left(\alpha^n+\beta^n\right)\) 恆為偶數，
且由 \(\alpha^n = \left(\alpha^n+\beta^n-1\right) + \left(1-\beta^n\right)\)
因為 \(0<\beta<1\)，所以 \(0<\beta^n<1\Rightarrow 0<\left(1-\beta^n\right)<1\) ，
且 \(\left(\alpha^n+\beta^n-1\right)\in\mathbb{Z}\)
可知 \(\left[\alpha^n\right] = \left(\alpha^n+\beta^n-1\right)\) 恆為奇數。
註：或由二項式定理直接展開並相加，亦可知 \(\left(\alpha^n+\beta^n\right)\) 恆為偶數。
回復 3# weiye 的帖子
謝謝您的詳解！！(後面的觀察很細緻) [quote]原帖由 [i]Chen[/i] 於 2016-7-3 01:30 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15867&ptid=2550][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]謝謝您的詳解！！(後面的觀察很細緻) [/quote]
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