105師大附中代理
13.\( \Bigg\{\; \matrix{(x-1)^3+(x-1)(2016)=-105 \cr (y-1)^3+(y-1)(2016)=105} \)，求\( x+y= \)[u] [/u]。
已知\(x,y\)是實數，且\( \Bigg\{\; \matrix{(x-11)^5+15(x-11)=5 \cr (y-4)^2+15(y-4)=-5} \)，則\( x+y= \)？
(建中通訊解題第53期，[url]http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37[/url])
110.2.11補充
若實數\(\alpha\)與\(\beta\)滿足\(\cases{\alpha^3-6\alpha^2+13\alpha=2020 \cr \beta^3-3\beta^2+4\beta=-2008}\)，則\(\alpha+\beta=\)[u] [/u]。
(109高中數學能力競賽 台北市複試筆試二，[url]https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html[/url])
計算題
1.
設\(x,y,z\)均為整數且滿足\(\cases{x^3+y^3+z^3=132\cr x+y+z=6}\)，求\(|\;x|\;+2|\;y|\;+|\;z|\;\)的所有可能值為何？
求所有整數\(x,y,z\)滿足\(\cases{x+y+z=4\cr x^3+y^3+z^3=88}\)
(111高中數學能力競賽 彰雲嘉區複賽試題一，[url]https://math.pro/db/thread-3782-1-1.html[/url]) 第13題沒有說 x, y 是實數...
這樣會有9個答案XD 而且不太好算吧！ 填充第3
設實係數多項式\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f(7)=k_1f(3)+k_2f(5)+k_3f(9)+k_4f(11)\)，求\(|\;k_1|\;+|\;k_2|\;+|\;k_3|\;+|\;k_4|\;\)之值為[u] [/u]。
[解答]
小弟提供插值解法，如果用差分應該可以更快，不過小弟跟它不熟..... [size=3]填充題3. 設實係數多項式 f (x) = x³ + ax² + bx + c，若 f (7) = k₁*f (3) + k₂*f (5) + k₃*f (9) + k₄*f (11)，求 |k₁| + |k₂| + |k₃| + |k₄| 之值[/size][size=3]。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]解: 利用巴貝奇定理，有 [/size]
[size=3][/size]
[size=3]f (3) - 4*f (5) + 6*f (7) - 4*f (9) + f (11) = 0[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求 = 5/3。[/size]
[size=3][/size] 第5題
從連續正整數：1、2、3、……、20 中任取相異三數為一組，
(1)試求總共有[u] [/u]組。
(2)令\(x\)為每組中最小的數，求所有\(x\)值的平均為[u] [/u]。
[解答] 第六題
若\(x^2+(\sqrt{m}-12)x+(\sqrt{m}-1)=0\)的二根均為正整數，試求所有\(m\)的和為[u] [/u]。
[解答] 第10題
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)首項\(a_1=1\)，令\(S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\)且滿足\(S_n=4(a_{n+1}-1),\forall n\ge 1\)，若\(S_n>400\)，試求最小的\(n\)值為[u] [/u]。
[解答] 第11題
令\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(d\)為正整數，若\(7\le a\le b\le c\le d\le e\le 11\)，試求\((a,b,c,d,e)\)有[u] [/u]組不同解。
[解答] 另外想要問第12題數列的問題，因為數列太多的技巧了~這一題要利用什麼技巧破題呢?有請各位老師解答。
回復 10# dark30932 的帖子
數列\(\langle\;a_n\rangle\;_{n=1}\)滿足\(a_n=a_{n-1}-a_{n-2},n\ge 3\)，且\(a_{100}=100\)，\(a_{200}=200\)，求\(a_{300}=\)[u] [/u]。
[解答]
提供参考解法
回復 11# eyeready 的帖子
想請教第7題題目沒有X的2次項嗎?
回復 12# gamaisme 的帖子
漏打了回復 11# eyeready 的帖子
感謝您~原來可以這樣看規律阿~
眼界大開 想請問第二題，小弟知道圖形為折線圖，但是折線圖的最低點要怎麼求呢?
請網上的老師開示~謝謝
回復 15# dark30932 的帖子
小弟淺見第二題的圖形為「平底型」，非尖底型，因此取值範圍在50-51其值皆相同，故可取50代入即是最小值（絕對值函數最小值發生在中位數） 想請教填充4和14題,謝謝
回復 17# 阿光 的帖子
第4題\(12\times {{10}^{8}}=10\times 10\times 200\times 60000<A<20\times 20\times 300\times 70000=84\times {{10}^{8}}\)
另解
\(A=\left( {{2}^{2}}-1 \right)\left( {{2}^{2}}+1 \right)\left( {{2}^{4}}+1 \right)\left( {{2}^{8}}+1 \right)\left( {{2}^{16}}+1 \right)={{2}^{32}}-1\)
回復 17# 阿光 的帖子
第14題\(\begin{align}
& \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left\{ \frac{\sum\limits_{k=1}^{{{2}^{n}}-1}{\left[ {{\log }_{2}}k \right]}}{{{3}^{n}}} \right\}} \\
& =\frac{1\times 2}{3{}^{2}}+\frac{1\times 2+2\times 4}{3{}^{3}}+\frac{1\times 2+2\times 4+3\times 8}{3{}^{4}}+...+\frac{1\times 2+2\times 4+3\times 8+...+\left( n-1 \right)\times {{2}^{n-1}}}{3{}^{n}} \\
& =\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{\left( n-2 \right)\times {{2}^{n}}+2}{{{3}^{n}}}} \\
& =\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\left( n-2 \right)\times {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}}}+2\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{{{3}^{n}}}} \\
& =\frac{8}{3}+\frac{1}{3} \\
& =3 \\
\end{align}\)
回復 6# dark30932 的帖子
第五題 第二小題1*C(19,2)+2*C(18,2)+3*C(17,2)+...+18*C(2,2)=C(20,3)+C(19,3)+...+C(4,3)+C(2,2) = C(20,4) (巴斯卡定理)
所求之平均值為C(20,4)/C(20,3)=21/4
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