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apple 發表於 2016-6-16 13:13

105台北市立復興高中二招

校方公告題目以及解答(附絕大部分詳解)

提供自己寫第3題的做法：
方程式為兩個圓，看成兩點分別在兩個圓上，和原點形成三角形，利用三角形面積求出所求之極值。
不知道有沒有其他的想法？

第4題：
拆項對消後，可以得到第n項

另外想要問第7題，
感覺這種題目常常出現，不知道怎麼下手比較恰當。
謝謝。

校方給的答案中，第六題的答案應該要修正成 3 或 3/5 才對。
謝謝信哥提醒~~~~~

[[i] 本帖最後由 apple 於 2016-6-17 10:02 AM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2016-6-16 13:34

4.
設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足遞迴式\( \Bigg\{\; \matrix{\displaystyle a_1=\frac{1}{3} \cr a_n=a_{n-1}+\frac{2}{n^2+3n+2},n \ge 2} \)，試求\(a_n\)。
[提示]
\( \displaystyle a_n=a_{n-1}+2\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right) \)
\( \displaystyle a_{n-1}=a_{n-2}+2 \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \)
\( \ldots \)
\( \displaystyle a_3=a_2+2 \left( \frac{1}{4}-\frac{1}{5} \right) \)
\( \displaystyle a_2=a_1+2 \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right) \)


5.
某手機公司共有甲、乙、丙三個生產線，依據統計，甲、乙、丙所製造的手機中分別有3%,1%,1%是瑕疵品。若公司希望在全部的瑕疵品中，由甲生產線所製造的比例不得超過\( \displaystyle \frac{1}{4} \)，則甲生產線所製造的手機數量可占全部手機產量的百分比至多為[u]　　　[/u]。

某手機公司共有甲、乙、丙三個生產線，依據統計，甲、乙、丙所製造的手機中分別有5%,3%,3%是瑕疵品。若公司希望在全部的瑕疵品中，由甲生產線所製造的比例不得超過\( \displaystyle \frac{5}{12} \)，則甲生產線所製造的手機數量可占全部手機產量的百分比至多為[u]　　　[/u]。
(100指考數甲)


6.
坐標空間中，若平面\(E\)：\(ax+by+cz=1\)滿足以下三條件：
(1)平面\(E\)與平面\(F\)：\(x+y+z=1\)有一夾角為\(30^{\circ} \)，
(2)點\(A(1,1,1)\)到平面\(E\)的距離等於1，
(3)\(a+b+c>0\)，
試求\(a+b+c\)的值[u]　　[/u]。

坐標空間中，若平面\(E\)：\(ax+by+cz=1\)滿足以下三條件：
(1)平面\(E\)與平面\(F\)：\(x+y+z=1\)有一夾角為\(30^{\circ} \)，
(2)點\(A(1,1,1)\)到平面\(E\)的距離等於3，
(3)\(a+b+c>0\)，
則\(a+b+c\)的值為[u]　　[/u]。
(100指考數甲)

thepiano 發表於 2016-6-16 15:28

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第7題
\(\begin{align}
  & f\left( x \right)={{b}_{1}}\left( x-{{a}_{2}} \right)\left( x-{{a}_{3}} \right)+{{b}_{2}}\left( x-{{a}_{3}} \right)\left( x-{{a}_{1}} \right)+{{b}_{3}}\left( x-{{a}_{1}} \right)\left( x-{{a}_{2}} \right)-\left( x-{{a}_{1}} \right)\left( x-{{a}_{2}} \right)\left( x-{{a}_{3}} \right) \\
& f\left( {{a}_{1}} \right)>0,f\left( {{a}_{2}} \right)<0,f\left( {{a}_{3}} \right)>0,f\left( \infty  \right)<0 \\
\end{align}\)

thepiano 發表於 2016-6-16 17:18

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第 3 題
用柯西或參數式搭配疊合與和角也可以

jackyxul4 發表於 2016-6-16 22:11

回復 1# apple 的帖子

話說....第六題答案應該是3和3/5吧.....?

eyeready 發表於 2016-6-16 22:36

回復 5# jackyxul4 的帖子

是的！想請教第八題，如何運算呢？

[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2016-6-17 12:07 PM 編輯 [/i]]

apple 發表於 2016-6-17 10:01

回復 5# jackyxul4 的帖子

應該是3/5，沒錯!!!!

這是校方給的答案。
不過，我先在上面修正好了~~~

cefepime 發表於 2016-6-17 13:40

[size=3]第8題，拼湊一個構想拋磚引玉。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]設 a, b, c 為異於 1 之正數，且 [size=4]log[/size][size=2]a [/size][size=4]10[/size] + [size=4]log[/size][size=2]b [/size][size=4]10[/size] + [size=4]log[/size][size=2]c [/size][size=4]10[/size] = [size=4]log[/size][size=2]abc [/size][size=4]10[/size]，試求 (abc)⁴ - (abc)² * (a² + b² + c²) + a²b² + b²c² + c²a² 的值。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]想法: 觀察條件式，"10" 並不具特殊性 -- 它可被任意非 1 正數取代。或者，觀察到只要 a, b, c 任二者呈倒數關係[/size][size=3]，即可滿足條件式。由此發現聯想到用 a, b, c 之一 (而非 10) 作為對數的底。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]解:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=4]log[/size][size=2]a [/size][size=4]10[/size] +  [size=4]log[/size][size=2]b [/size][size=4]10[/size] + [size=4]log[/size][size=2]c [/size][size=4]10[/size] = [size=4]log[/size][size=2]abc [/size][/size][size=4]10[/size]
[size=3][/size]
[size=4]⇒ log[size=2]a [/size][size=4]a[/size] +  [size=4]log[/size][size=2]b [/size][size=4]a[/size] + [size=4]log[/size][size=2]c [/size][size=4]a[/size] = [size=4]log[/size][size=2]abc [/size][size=4]a  [/size][/size][size=3] (亦可逕換底為 a)[/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=4]⇒ [/size]1 +[/size] ([size=3]1 / [size=4]log[/size][size=2]a [/size][size=3][size=4]b[/size]) [/size]+[/size] [size=4]([size=3]1 / [size=4]log[/size][size=2]a[/size][/size][/size][size=3] [size=4]c[/size]) =[/size] [size=3]1 / ([size=3]1 + [size=4]log[/size][size=2]a [/size][size=4]b[/size] + [size=4]log[/size][size=2]a [/size][size=4]c[/size])[/size][/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=4]⇒ [/size]1 + [size=3]1/s[size=3] [/size]+ [/size][size=4][size=3]1/ t =[/size][/size] [size=3]1/([size=3]1+s+t)   (令 [size=4]log[/size][size=2]a [/size][size=4]b[/size] = s，[size=4]log[/size][size=2]a [/size][size=4]c[/size] = t)[/size][/size][/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=4]⇒ [/size](s+t) / st = - (s+t) [size=3]/ ([size=3]1+s+t)[/size][/size][/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=4]⇒ [/size](s+t)*(s +1)*(t +1) = 0[/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=4]⇒ [/size]s = -t ∨ s = -1∨ t = -1[/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=4]⇒ [/size]bc = 1 ∨ ab = 1 ∨ ac = 1[/size]
[size=3][/size]
[size=3]若 bc = 1，所求 = a⁴ - a² * (a² + b² + c²) + a² * (b² + c²) +1 = [color=red]1[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3](基於對稱性，其餘情形亦同。)[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]

thepiano 發表於 2016-6-17 15:07

回復 6# eyeready 的帖子

第8題
\(\begin{align}
  & \log {}_{a}10+\log {}_{b}10+\log {}_{c}10=\log {}_{abc}10 \\
& \frac{1}{\log a}+\frac{1}{\log b}+\frac{1}{\log c}=\frac{1}{\log \left( abc \right)} \\
& \log a=x,\log b=y,\log c=z \\
& \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z} \\
& \frac{yz+zx+xy}{xyz}=\frac{1}{x+y+z} \\
& xyz+{{y}^{2}}z+y{{z}^{2}}+z{{x}^{2}}+xyz+{{z}^{2}}x+{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}+xyz=xyz \\
& {{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}+{{y}^{2}}z+y{{z}^{2}}+{{z}^{2}}x+z{{x}^{2}}+2xyz=0 \\
& \left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)=0 \\
& ab=1\ or\ bc=1\ or\ ca=1 \\
& {{(abc)}^{4}}-{{(abc)}^{2}}({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}=1 \\
\end{align}\)

cefepime 發表於 2016-6-17 15:22

[size=3]第 2 題，分享一個另解。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]設 x, y, z 為正實數，試證明: x / (3x+y+z)  + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ≤ 3/5。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]想法: 這種分式型的題目，有時可利用 "排序不等式" 解。(105松山高中計算證明題 4 亦同，請參考 [url=https://math.pro/db/thread-2482-1-1.html]https://math.pro/db/thread-2482-1-1.html[/url])。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]解:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]左式顯然為二數列之逆序和。或者說: [/size]
[size=3][/size]
[size=3]不妨設 [color=blue]x[/color] ≥ [color=blue]y[/color] ≥ [color=blue]z[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]則 [color=black]1/(3x+y+z) ≤ 1/(x+3y+z) ≤ 1/(x+y+3z)[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]由排序不等式，有:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=blue]x[/color] / (3x+y+z) + [color=blue]y[/color] / (x+3y+z) + [color=blue]z[/color] / (x+y+3z) ≤ [color=blue]x[/color] / (3x+y+z) + [color=blue]y[/color] / (x+3y+z) + [color=blue]z[/color] / (x+y+3z) ... (1)[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=blue]x[/color] / (3x+y+z) + [color=blue]y[/color] / (x+3y+z) + [color=blue]z[/color] / (x+y+3z) ≤ [color=blue]y[/color] / (3x+y+z) + [color=blue]z[/color] / (x+3y+z) + [color=blue]x[/color] / (x+y+3z) ... (2)[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=blue]x[/color] / (3x+y+z) + [color=blue]y[/color] / (x+3y+z) + [color=blue]z[/color] / (x+y+3z) ≤ [color=blue]z[/color] / (3x+y+z) + [color=blue]x[/color] / (x+3y+z) + [color=blue]y[/color] / (x+y+3z) ... (3) [/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3](1)*3 + (2) + (3)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ 5*(左式) ≤ 3，故 (左式) ≤ 3/5，得證。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]

eyeready 發表於 2016-6-17 16:03

感謝thepiano、cefeprime 大大詳解！！

Ellipse 發表於 2016-6-17 22:20

[quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2016-6-17 03:07 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15710&ptid=2533][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第8題
\(\begin{align}
  & \log {}_{a}10+\log {}_{b}10+\log {}_{c}10=\log {}_{abc}10 \\
& \frac{1}{\log a}+\frac{1}{\log b}+\frac{1}{\log c}=\frac{1}{\log \left( abc \right)} \\
& \log a=x,\log b=y ... [/quote]
借一下鋼琴兄這個:
1/x +1/y +1/z =1/ (x+y+z)
推得(x+y)(y+z)(z+x)=0
考生可以把這個記起來
否則考試還要花很多時間證

或是用輪換的方式也可以證

Ellipse 發表於 2016-6-17 22:31

[quote]原帖由 [i]cefepime[/i] 於 2016-6-17 03:22 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15711&ptid=2533][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 2 題，分享一個另解。

設 x, y, z 為正實數，試證明: x / (3x+y+z)  + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ≤ 3/5。

想法: 這種分式型的題目，有時可利用 "排序不等式" 解。(105松山高中計算證明題 4 亦同，請參考 http://m ... [/quote]

這題也可以用"琴生不等式"
你們可以想想看

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2016-6-17 10:46 PM 編輯 [/i]]

cefepime 發表於 2016-6-17 23:37

[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2016-6-17 10:31 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15715&ptid=2533][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]

這題也可以用"琴生不等式"
你們可以想想看 [/quote]

[size=3]謝謝 Ellipse 老師的提示，嘗試一做:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]設 x, y, z 為正實數，試證明: x / (3x+y+z)  + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ≤ 3/5。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]證明:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]因左式為零次齊次函數, 不妨設 x+y+z = 1，原題即證: x / (2x+1) + y / (2y+1) + z / (2z+1) ≤ 3/5。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]考慮函數 f(t) = t / (2t+1)，當 t > 0，其為凹口向下 (concave) 函數。  [ 因當 t > 0，g(t) = 1 / (2t+1) 凹口向上; 或因 f''(t) > 0 ][/size]
[size=3][/size]
[size=3]由 Jensen 不等式:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][ f(x) + f(y) + f(z) ] / 3 ≤ f((x+y+z)/3) = f(1/3)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇒ x / (2x+1) + y / (2y+1) + z / (2z+1) ≤ 3/5，得證。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]------------------------------------------------------------------------------[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]上文提到的 "不妨設 x+y+z = 1"，也可以使利用柯西不等式的證明看起來精簡些，如下:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]設 x+y+z = 1，原題即證: x / (2x+1) + y / (2y+1) + z / (2z+1) ≤ 3/5[/size]
[size=3][/size]
[size=3]由柯西不等式:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][ (2x+1) + (2y+1) + (2z+1) ] * [ 1/(2x+1) + 1/(2y+1) + 1/(2z+1) ] ≥ 9

⇒ 1/(2x+1)  + 1/(2y+1) + 1/(2z+1) ≥ 9/5

⇒ 1 - [ 2x/(2x+1) ] + 1 - [ 2y/(2y+1) ] + 1 - [ 2z/(2z+1) ] ≥ 9/5

⇒ x / (2x+1) + y / (2y+1) + z / (2z+1) ≤ 3/5，得證。
[/size]

[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-19 02:11 PM 編輯 [/i]]

cefepime 發表於 2016-6-18 03:09

[size=3]第 2 題，參考 thepiano 老師之前的帖 ([url=https://math.pro/db/thread-2436-2-3.html]https://math.pro/db/thread-2436-2-3.html[/url])，亦可採用算幾不等式。[/size]
[size=3][/size]
[size=3](聯想: 算幾⇔柯西 ; 排序⇒算幾&柯西 ; 琴生⇒算幾&柯西 → 公告解答用柯西證明，暗示了用算幾，排序，及琴生不等式的可行性)[/size][size=3]。

設 x, y, z 為正實數，試證明: x / (3x+y+z)  + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ≤ 3/5。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]證明:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]令 3x+y+z = a，x+3y+z = b，x+y+3z = c ⇒ x = (4a-b-c)/10，y = (-a+4b-c)/10，z = (-a-b+4c)/10[/size]
[size=3]
原題即證:  

(4a-b-c)/a + (-a+4b-c)/b + (-a-b+4c)/c ≤ 6

⇔ 6 ≤ [(b/a) + (a/b)] + [(c/b) + (b/c)] + [(c/a) + (a/c)]

由算幾不等式，右式 ≥ 2+2+2 = 6，得證。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------[/size]
[size=3][/size]
[size=3]再來一個: 切線法 (利用切線的放縮法)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]觀察原式，當 (x, y, z) = (1, 1, 1) 時可取等號 ⇒ 取函數 f(x) = 3x/25 + 2/25[/size]
[size=3][/size]
[size=3]先證: 當 x > 0，[/size]
[size=3][/size]
[size=3]x / (2x+3) ≤ 3x/25 + 2/25 ... (*)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇔ 25x ≤ 6x² + 13x + 6[/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇔ 0 ≤ (x - 1)²，成立。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]回到題目式，不妨設 x+y+z = 3   [ 因上文是依據 (x, y, z) = (1, 1, 1) 分析 ][/size]
[size=3][/size]
[size=3]原題即證:[/size]

[size=3] x / (2x+3)  + y / (2y+3) + z / (2z+3) ≤ 3/5
[/size]
[size=3]由 (*) 式， 有:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]x / (2x+3) ≤  3x/25 + 2/25 ... (1)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]y / (2y+3) ≤  3y/25 + 2/25 ... (2)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]z / (2z+3) ≤  3z/25 + 2/25 ... (3)[/size]
[size=3][/size]
[size=3](1)+(2)+(3)[/size]
[size=3][/size]
[size=3] x / (2x+3)  + y / (2y+3) + z / (2z+3) ≤ 3/5，得證。
[/size]

[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-18 08:47 AM 編輯 [/i]]

jackyxul4 發表於 2016-6-18 09:07

回復 5# jackyxul4 的帖子

又發現到一件事情，第10題題目裡並沒有給出O點就是原點這件訊息吧?

所以其實題目是有瑕疵的，因為T是以原點為中心旋轉

要的話題目應該要加上O為原點，或是改後面題目任意三角形OPQ變換為O'P'Q'

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