Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » I：數與函數 » 請教函數與指數的問題

yangyang314159 發表於 2016-6-3 08:42

請教函數與指數的問題

1. 若\(A(1,1)\),\(B(6,13)\)，\(C\)是平面上的動點，已知三角形\(ABC\)的周長是39，求\(C\)到直線\(AB\)的最大距離?

2. 若\(x\)滿足不等式\(2<x^2<3\)且\(\displaystyle \frac{1}{x}\)與\(x^2\)的小數部分相同，試求\(\displaystyle x^{12}-\frac{144}{x}\)

3.設函數具有性質：\(f(x-1)•f(y-1)=f(xy-x-y+1)+2x-3y+3\)求\(f(2009)=\)？

thepiano 發表於 2016-6-3 11:57

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第3題
[url]https://math.pro/db/thread-1073-1-1.html[/url]

eyeready 發表於 2016-6-3 12:56

回復 1# yangyang314159 的帖子

第一題 看成以A、B為兩焦點的橢圓，C為橢圓上動點，而在短軸頂點即為最大值
第二題 附圖 (應該還能更快些吧！？)

thepiano 發表於 2016-6-3 13:11

回復 1# yangyang314159 的帖子

第2題
\(\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)，問題是\(\displaystyle {{x}^{12}}-\frac{144}{x}\)要怎麼求？

raven 發表於 2016-6-3 21:11

偶然注意到費波納契數列a_n= 1/sqrt5 * [x^n-(-1/x)^n]
a_12=144，不知是否有關聯?

事實上 x^n − (a_n)/x = a_n+1，由此可知 x^12-144/x=a_13=233
證明尚無頭緒，不知是否原理如#3的解一樣，求高人指點
想知道是否有直接跳至費式數列的方法?

thepiano 發表於 2016-6-3 22:01

回復 5# raven 的帖子

eyeready 兄和 raven 兄實在太強了，小弟看到 12 次方就自動略過了

\(\begin{align}
  & {{x}^{2}}=x+1={{a}_{2}}x+{{a}_{1}} \\
& {{x}^{3}}={{x}^{2}}+x=2x+1={{a}_{3}}x+{{a}_{2}} \\
& {{x}^{4}}={{x}^{3}}+{{x}^{2}}=3x+2={{a}_{4}}x+{{a}_{3}} \\
& \cdots \cdots  \\
& {{x}^{n+1}}={{x}^{n}}+{{x}^{n-1}}={{a}_{n+1\grave{\ }}}x+{{a}_{n}} \\
& {{x}^{n}}-\frac{{{a}_{n}}}{x}={{a}_{n+1}} \\
\end{align}\)

eyeready 發表於 2016-6-3 22:06

回復 6# thepiano 的帖子

thepiano大大您才是最強的吧= =+
經由大家一起討論，將題目了解的更加透澈的感覺蠻棒的^ ^

yangyang314159 發表於 2016-6-8 20:25

回復 7# eyeready 的帖子

感謝大家的詳解

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