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先為別人想,
再為自己想。

米斯蘭達 發表於 2016-5-30 19:39

105台南一中

目前好像還沒有看到公布題目
就來拋磚引玉一下
1. A點(8,3)到拋物線y=x^2-x-2之最短距離為何?
2. 給定兩焦點座標與長軸長,證明橢圓的標準式。(兩個方向都要證明)
3.a(n+1)=Sn+n^2-n+2,其中Sn=a1+a2+...+an,求an之一般項通式。

5pn3gp6 發表於 2016-5-31 09:39

昨天晚上看到,想說早上起床也打一些記得的題目好了
不過今天一早就看到題目和答案被放出來囉~
 
 
阿 我又看錯題目了QQ

eyeready 發表於 2016-5-31 16:15

提供填充5、計算6

5pn3gp6 發表於 2016-5-31 19:36

想請問填充第4
做了幾次跟答案都差48....  找不到哪邊少算了~"~


計算6我提供另外一個做法
是從圖形去看 之後計算再搭配積化和差

計算6
[attach]3435[/attach]

eyeready 發表於 2016-5-31 20:51

回復 4# 5pn3gp6 的帖子

填充4 我算528種......

valkyriea 發表於 2016-5-31 20:52

填充4,如圖
[attach]3436[/attach]

shihtc 發表於 2016-5-31 20:55

想問填充1,謝謝

想問填充1,謝謝

valkyriea 發表於 2016-5-31 22:34

填充1
先算5x-4y=0  令x=4t,y=5t  (t為整數)
16t^2 + 25t^2 <= 10000
t^2 <= 10000/41
225 < 243 < 10000/41 < 244 < 256
得t之最小值-15,最大值15,
再回去檢查x=4t+1,y=5t+2 (5x-4y+3=0之參數式)
t=-15 或 15 合不合條件,
可知格子點有31個

[[i] 本帖最後由 valkyriea 於 2016-5-31 10:35 PM 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2016-5-31 22:36

回復 7# shihtc 的帖子

填充第1題
\(\begin{align}
  & x=\frac{4y-3}{5} \\
& y>0,y\equiv 2\ or\ 7\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& y<0,-y\equiv 3\ or\ 8\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
\end{align}\)
利用\({{60}^{2}}+{{80}^{2}}={{100}^{2}}\)
\(\left( x,y \right)=\left( -59,-73 \right),\left( -55,-68 \right),\cdots ,\left( 57,72 \right),\left( 61,77 \right)\)

leo790124 發表於 2016-6-2 14:04

請教填充3與計算2
謝謝

thepiano 發表於 2016-6-2 15:08

回復 10# leo790124 的帖子

填充第3題

\(\begin{align}
  & {{a}_{n+1}}={{S}_{n}}+{{n}^{2}}-n+2 \\
& {{a}_{n}}={{S}_{n-1}}+{{\left( n-1 \right)}^{2}}-\left( n-1 \right)+2 \\
& {{a}_{n+1}}-a{}_{n}={{a}_{n}}+2n-2 \\
& {{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+2\left( n-1 \right) \\
& {{a}_{n+1}}+2\left( n+1 \right)=2\left( {{a}_{n}}+2n \right)={{2}^{2}}\left[ {{a}_{n-1}}+2\left( n-1 \right) \right]=\cdots ={{2}^{n}}\left( {{a}_{1}}+2 \right) \\
& {{a}_{n}}={{2}^{n+1}}-2n \\
\end{align}\)

thepiano 發表於 2016-6-2 16:26

回復 10# leo790124 的帖子

計算第2題
即證明\(2\left( 1+r+{{r}^{2}}+{{r}^{3}}+{{r}^{4}} \right)\le 5\left( 1+{{r}^{4}} \right)\)

\(\begin{align}
  & 5\left( 1+{{r}^{4}} \right)-2\left( 1+r+{{r}^{2}}+{{r}^{3}}+{{r}^{4}} \right) \\
& =3{{r}^{4}}-2{{r}^{3}}-2{{r}^{2}}-2r+3 \\
& ={{\left( r-1 \right)}^{2}}\left( 3{{r}^{2}}+4r+3 \right)\ge 0 \\
&  \\
& 2\left( 1+r+{{r}^{2}}+{{r}^{3}}+{{r}^{4}} \right)\le 5\left( 1+{{r}^{4}} \right) \\
\end{align}\)

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2016-6-2 04:28 PM 編輯 [/i]]

cefepime 發表於 2016-6-3 00:26

[size=3]計算證明題 2.[/size]
[size=3]
除了 thepiano 老師提出的速解,也可以用另一個角度考察。

[/size][size=3]當 r = 0 或 1,原式成立。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]當 0 < r ≠ 1,因[size=4] f [/size][size=2](n)[/size] = r[size=4]ⁿ[/size] 凹口向上,由 Jensen 不等式,或用梯形法比較面積,或用比較諸函數值的算數平均,皆可得證。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]依此,本題可推廣為:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]r ≥ 0,n ∈N,則 (1 + r+...+ r[size=4]ⁿ[/size]) / (n+1) ≤ (1 + r[size=4]ⁿ[/size]) / 2[/size]

[size=3][/size]

[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-3 01:02 PM 編輯 [/i]]

leo790124 發表於 2016-6-3 14:29

回復 3# eyeready 的帖子

請益老師複數那堤
倒數第四個等號到倒數第三個等號是怎麼變的呢???

王重鈞 發表於 2016-6-3 16:27

提供計算六另解

計算六

eyeready 發表於 2016-6-3 18:05

回復 14# leo790124 的帖子

利用 sinθーi cosθ=cos(π/2 -θ)ーisin(π/2 -θ)=cos(-π/2 +θ)+isin(-π/2 +θ)
再用極式相乘為角度相加,極式相除為角度相減即可!

cefepime 發表於 2016-6-3 22:56

[size=3]填充題 4.[/size] [size=3]以四種顏色塗 4x2 之 8 格方格 (不考慮旋轉),每種顏色皆塗兩格,每格方格只塗一種顏色,同色不相鄰,則有幾種塗色方法?[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]想法: 適當的分類,可望化繁為簡。以下依中央四格共塗 2,3,4 色來分類。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]下文說明: [b][color=blue]藍字[/color][/b]: 中央四格選色的方法數;  [b][color=red]紅字[/color][/b]: 承上選色後,中央四格塗色的方法數;  [color=green][b]綠字[/b][/color]: 再承上,周邊四格塗色的方法數。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]分類 1: 中央四格共塗 2 色[/size]
[size=3][/size]
[size=3][img]http://i.imgur.com/EfLOmTs.png[/img][/size]
[size=3][/size]
[size=4][color=blue]C(4,2)[/color]*[color=red]2[/color]*[color=green]2*2[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]分類 2: 中央四格共塗 3 色[/size]
[size=3][/size]
[size=3][img]http://i.imgur.com/7HWuIeu.png[/img][/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=4][color=blue]C(4,3)*C(3,1)[/color]*[/size][size=4][color=red]2*2[/color][/size][size=4]*[/size][size=4][color=green]5[/color][/size][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]分類 3: 中央四格共塗 4 色[/size]
[size=3][/size]
[size=3][img]http://i.imgur.com/wIrNpJH.png[/img][/size]
[size=3][/size]
[size=4][color=red]4![/color]*[color=green]9   [/color][size=3][color=black](這個 "9" 就是 4 個元素的"錯列數" -- 4個顏色皆有一個(不同的)位置不能塗)[/color][/size][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]以上三者相加,得 [b][u]504[/u] [/b]種方法。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]

六道 發表於 2016-6-4 08:19

回復 17# cefepime 的帖子

謝謝 cefepime老師的詳細解釋 感恩
這邊在下野人獻曝一下 我想也許有人跟我一樣原本是不懂錯排(錯列)數的意思的

比如說有n封寫好了的信,收件人不同,胡亂放入n 個寫了地址的信封中,寄出,
求沒有一個收件人收到他所應接收的信的機率。(也就是應該要是A人收到A信 B人收到B信..諸如此類)
當n=4 ,在4! = 24個排列之中,只有9個是錯排:
BADC, BCDA, BDAC,
CADB, CDAB, CDBA,
DABC, DCAB, DCBA,

by the way 我們比較常用到的錯列數不妨直接背起來吧 !
D1 = 0,D2 = 1,D3=2,D4 = 9,D5 = 44,D6 = 265,D7 = 1854

D4=9 (就是cefepime老師所說的 4個元素的錯列數 =9 )

[[i] 本帖最後由 六道 於 2016-6-4 08:23 AM 編輯 [/i]]

valkyriea 發表於 2016-6-4 11:14

回復 18# 六道 的帖子

n件物品的錯排公式 sigma k=0到n [ (-1)^k * C(n,k) * (n-k)! ]

阿光 發表於 2016-8-12 22:05

想請教填充2和8,謝謝

頁: [1] 2

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