105豐原高中
2/203最低錄取48分 4.
將由左至右的六個位置分別填入0、1、2的數字，成為「三元字串」，例如：201021是一個三元字串。對於兩個三元字串\(a=a_1a_2a_3a_4a_5a_6\)與\( b=b_1b_2b_3b_4b_5b_6\)，定義\(a\)與\(b\)的距離為\(\displaystyle \sum_{i=1}^{6} |\; a_i-b_i |\;\)，意即\(|\;a_1-b_1|\;+|\;a_2-b_2|\;+|\;a_3-b_3|\;+|\;a_4-b_4|\;+|\;a_5-b_5|\;+|\;a_6-b_6|\;\)，例如：201021與001011的距離為3(因為它們的第一個足標差和第5個足標差1，加總起來是3)，請問與201021的距離為4的三元字串共有多少個？
將由左至右的六個位置分別填入0或1或2的數字，成為「三元字串」，例如：201021是一個三元字串。對於兩個三元字串\(a=a_1a_2a_3a_4a_5a_6\)與\( b=b_1b_2b_3b_4b_5b_6\)，定義\(a\)與\(b\)的距離為滿足\(a_i \ne b_i\)的下標\(i\)的個數。例如：201021與001011的距離為2(因為它們的第一及第五個位置的數字不相同)。
(1)試問與201021的距離為3的三元字串共有多少個？
(2)試求所有三元字串與201021的距離總和。
(100台灣師大個人申請)
[解答]
(1)
與201021的距離為3的三元字串就是僅能改變六個位置中的三個，而且每個改變的位置只能填入其餘的兩個數字，因此一共有\(C_3^6 \times 2^3=160\)個。
(2)
從(1)的討論中，可以發現：與201021的距離為\(k(k=0,1,2,3,4,5,6)\)的三元字串共有\(C_k^6 \times 2^k\)個。
因此，所有三元字串與201021的距離總和為
\( \displaystyle \sum_{k=0}^6 (C_k^6 \times 2^k)\times k=\sum_{k=1}^6 6 \times 2C_{k-1}^5 \times 2^{k-1}=12(1+2)^5=2916 \)
10.
試將2017分成若干個正整數的和，且令\(x\)表每一種表示法的所有正整數乘積。
(例如：\(2017=2+5+2010\)，則\(x=2 \times 5 \times 2010=20100\))。若\(x\)的最大值為\(a\)，則試求下列各題之值：
(1)\(a\)為何？(以質因數分解表示)
(2)\(a\)為幾位數？首位數字是多少?
[提示]
(1)若M ≡ 0(mod 3)，則\( M=3n \)，積\( 3^n \)最大。
(2)若M ≡ 1(mod 3)，則\( M=3n+1=3(n-1)+2 \cdot 2 \)，積\( 3^{n-1}\cdot 2^2 \)最大。
(3)若M ≡ 2(mod 3)，則\( M=3n+2 \)，積\( 3^n \cdot 2 \)最大。
算式在這裡[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1945[/url]
12.
Gamble教授買了一張樂透彩券，需從1到30個數字中選出六個數字填入，已知他所選的六個數字分別以6為底數取log後，再加起來為一整數，則Gamble的選法有幾種？
Gamble教授買了一張樂透彩券，需從1到46個數字中選出六個數字填入，已知他所選的六個數字分別以10為底數取log後，再加起來為一整數，若中獎之彩券也是依照此相同之條件，則Gamble教授中獎之機率為
(A)\(\displaystyle \frac{1}{5}\) (B)\(\displaystyle \frac{1}{4}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (D)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (E)1
(2000 AMC12，[url]https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2000_AMC_12_Problems/Problem_23[/url])
AMC12中文歷屆試題[url]https://math.pro/db/attachment.php?aid=3320&k=942e9f887f76c9223c98af691013b439&t=1464391918[/url] 請教第十二題，還是看不出來?
回復 3# jyi 的帖子
第 12 題選出的六個數字，其乘積必為 6^k = 2^k * 3^k (k 為正整數)
故六個數字必從 1，2，3，4，6，8，9，12，16，18，24，27 這十二數字中選出
將這十二數字的標準分解式中，2 的次方減去 3 的次方的結果，列於下：
0，1，-1，2，0，3，-2，1，4，-1，2，-3
再從上面十二數字中，找到六個相加等於 0 的組數，就是答案
這是大工程，且容易錯。出題老師改完題目後，應該有自己算一遍，不知道他要花多久？
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-28 06:51 PM 編輯 [/i]]
可否請問第5題
可否請問第5題，謝謝回復 5# shihtc 的帖子
第 5 題設 F_1 關於 L 的對稱點是 R
易知 R 在直線 QF_2 上
F_2R = F_1Q - F_2Q = 2a = 6
OP = (1/2)F_2R = a = 3
故 P 的軌跡是以原點為圓心，半徑為 3 的圓
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-28 09:36 PM 編輯 [/i]] 計算九過程参考
答案應該為π/12 和 13π/12 (感謝shlhtc 大大)
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2016-6-11 09:05 PM 編輯 [/i]] 豐原計算12
有照piano大大方法算，但算出來是72種
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2016-6-1 12:56 PM 編輯 [/i]]
回復 8# eyeready 的帖子
我也算72，不過你過程有誤，-5的上行都只寫了5個數。回復 9# valkyriea 的帖子
眼殘了，已更正，謝謝valkyriea師！回復 10# eyeready 的帖子
剛又重算第二次，發現有個地方多算了，答案真的是72唉，算這種題目，真是浪費生命啊 想請教第八題，除了用轉移矩陣外還有別的作法嗎？
之前看過某老師的作法大致可類推成(如圖)
不過答案和Piano老師的不對
是哪個部分出錯呢
回復 12# peter0210 的帖子
這題是小弟又算錯了XD填充第8題
自鞭一下
轉移矩陣
2紅1白，1紅2白，3白
\(\begin{align}
& \left[ \begin{matrix}
\frac{3}{10} & \frac{2}{10} & \frac{1}{10} \\
\frac{6}{10} & \frac{6}{10} & \frac{6}{10} \\
\frac{1}{10} & \frac{2}{10} & \frac{3}{10} \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
x \\
y \\
1-x-y \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
x \\
y \\
1-x-y \\
\end{matrix} \right] \\
& \frac{6}{10}x+\frac{6}{10}y+\frac{6}{10}\left( 1-x-y \right)=y \\
& y=\frac{3}{5} \\
\end{align}\)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2016-6-2 11:23 AM 編輯 [/i]] 想請教填充10，我不太了解 mod 那邊，而我也有依循著連結去找，可是都沒有看到相關的算式，懇請賜教，謝謝！
回復 14# d3054487667 的帖子
参考看看 謝謝 eyeready 老師，可否再請教第11題，謝謝！回復 16# d3054487667 的帖子
第 11 題100 人共答對 182 題
(1) 通過的人數最少
只對 1 題的人和 3 題全對的人愈多愈好，可消耗答對的題數
先讓每人都答對 1 題，剩 182 - 100 = 82 題
再讓 82/2 = 41 人三題都答對
通過的人數最少 41 人
(2) 通過的人數最多
先從第 1 題考慮，這題有 50 人答對
設其中 x 人答對第 2 題，但答錯第 3 題
(50 - x) 人答對第 3 題，但答錯第 2 題
答對第 2 題還有 (68 - x) 人，答對第 3 題還有 (x + 14) 人
讓 68 - x = x + 14，x = 27
也就是
答對第 1 題和第 2 題，但錯第 3 題的有 27 人
答對第 1 題和第 3 題，但錯第 2 題的有 23 人
答對第 2 題和第 3 題，但錯第 1 題的有 41 人
通過的人數最多 = 27 + 23 + 41 = 91 人 謝謝 thepiano老師，我發現我的盲點了，原來從考試當天到檢討我都沒注意到表格上面有寫100人參加考試......題目看的也太不仔細了......謝謝！
請教計算第4題
如果是用bugmen老師的解法去做，跟鋼琴老師給的答案是不同的，而我自己的答案只算出91種，想請問如何思考才是正確的呢？回復 19# idsharon 的帖子
兩題定義距離的方式不同考古題定義距離的方式為『比較兩數的六個位數有幾個不同』
豐原的則是定義距離為『比較兩數的六個位數差的絕對值之和』
因此討論上就有差異了！
計算參考方法如下：分別討論各情況
情況一：相差為2+2 有6種
情況二：相差為2+1+1 有76種
情況三：相差為1+1+1+1 有 41種
總共有123種
PS：idsharon兄 端午連假還這麼認真
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2016-6-10 02:19 PM 編輯 [/i]]
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