105中科實中試題與解答(官方版本)
附上在下印象中的計算題題目如果有錯誤的地方還請各位大師幫忙訂正
Ps.很多題目在下都無從入手 懇請賜教
再來 今天下雨 原本是好雨知時節
但監考老師實在長得太像食神裡面的味公主
讓在下不禁多看幾眼 ... 而她還不忘宣讀兩次的考場規則
實在太黯然 太銷魂了 ... 讓在下一度忘記我是來考教甄還是來考食神
而原本有想法的題目也忘光了 慚愧!
(以上都是在下實力不足的推託之詞 請大家見諒)
[[i] 本帖最後由 六道 於 2016-5-21 09:56 PM 編輯 [/i]] 110.5.3補充
9.
設\(ABCD\)為正方形，已知正方形\(ABCD\)的面積為36，且\(\overline{AB}\)平行\(x\)軸，\(A\)、\(B\)、\(C\)三點分別在\(y=log_ax\)、\(y=2log_ax\)、\(y=3log_ax\)的圖形上，則\(a=\)？
(110彰化女中，[url]https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html[/url])
14.
請問欲使\( f(a,b)=(a+b-2)^2+(a+2b-3)^2+(a+3b-5)^2+(a+4b-8)^2 \)有最小值，此時的實數數對\((a,b)=\)？
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957[/url]
[解答]
對\(a\)偏微分
\(2(a+b-2)(1)+2(a+2b-3)(1)+2(a+3b-5)(1)+2(a+4b-8)(1)=0\)
\(8a+20b-36=0\)
對\(b\)偏微分
\(2(a+b-2)(2)+2(a+2b-3)(2)+2(a+3b-5)(3)+2(a+4b-8)(4)=0\)
\(20a+60b-110=0\)
解聯立方程式得\(\displaystyle a=-\frac{1}{2}\)，\(b=2\)
最小值\(\displaystyle f(-\frac{1}{2},2)=1\)
16.
設數列，\(a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1}\)，則\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\ldots+\frac{1}{a_{105}}=\)？
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2208&page=1#pid12872[/url]
回復 1# 六道 的帖子
這是給國中部的老師考的題目，這......六道兄，看了您的P.S，辛苦您了XD 請教12，謝謝
回復 4# ejo3vu84 的帖子
第12題黎曼和，把\(\frac{1}{n}\)弄進根號裡 想請教填充第一題，謝謝！
回復 6# koeagle 的帖子
先求出定點（n,n^2+2n)，再取三點求出abc之值得f(x)=x^2+2x因此最小值-1回復 7# eyeready 的帖子
應該不用取三點，代進去f(x)比較係數即可回復 8# thepiano 的帖子
Piano大大技高一籌回復 9# eyeready 的帖子
謝謝 thespian、eyeready兩位老師的解答。考試當下寫到頭昏，還一直執著於n是正整數，所以最小值寫成(1+1)^2-1=3，忘了題目問的是f(x)。 請教填充第六，十題！
6.
若一元四次多項式方程式\(x^4-12x^3+46x^2-60x+11=0\)的四個根分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)，且方程式\( \displaystyle \frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}+\frac{1}{x-d}=0 \)的三個實根由小至大分別為\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)，則有序數組\( \left( x_1,x_2,x_3 \right)= \)？
10.
若\( \alpha_1,\alpha_2, \ldots ,\alpha_{105} \)為\(x^{105}+2x^{104}+3=0\)的複數根，則\( (\alpha_1^2+1)(\alpha_2^2+1)\ldots(\alpha_{105}^2+1)= \)？ 第6&10題
見圖
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-23 09:39 AM 編輯 [/i]]
回復 5# thepiano 的帖子
鋼琴老師，12題懇請賜教，願聞其詳啊！此外也請老師們指導計算題1、2兩題，感謝您！ 請教填充第十一題！
11.
在\( \Delta ABC \)中，\( ∠A \)、\( ∠B \)、\( ∠C \)的對邊長度各別為\(a\)、\(b\)、7，則求\(a^2 cos 2B+2ab cos(A-B)+b^2 cos 2A\)之值=？
回復 13# 六道 的帖子
第12題求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n^2}\left( \sqrt{4n^2-1^2}+\sqrt{4n^2-2^2}+\sqrt{4n^2-3^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2} \right)= \)？
[解答]
\(\begin{align}
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{4{{n}^{2}}}\left( \sqrt{4{{n}^{2}}-{{1}^{2}}}+\sqrt{4{{n}^{2}}-{{2}^{2}}}+\sqrt{4{{n}^{2}}-{{3}^{2}}}+\cdots +\sqrt{4{{n}^{2}}-{{n}^{2}}} \right) \\
& =\frac{1}{4}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \sqrt{4-{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{2}}}+\sqrt{4-{{\left( \frac{2}{n} \right)}^{2}}}+\sqrt{4-{{\left( \frac{3}{n} \right)}^{2}}}+\cdots +\sqrt{4-{{\left( \frac{n}{n} \right)}^{2}}} \right) \\
& =\frac{1}{4}\int_{0}^{1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}} \\
\end{align}\)
即求X軸、Y軸、x=1和\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)在第一象限所圍成區域面積的\(\frac{1}{4}\)
回復 13# 六道 的帖子
計算第2題這是特徵根相同的遞迴數列，可參考高中數學競賽教程
答案是\(\left( 3-n \right)\times {{2}^{n-2}}\)
回復 14# jyi 的帖子
第11題這種考填充，直接用特例正三角形，不用1分鐘
請教填充4,5
不好意思，轉不出來卡住了
請教填充3,4
謝謝
計算題第一題答案
是這樣算嗎？
[attach]3398[/attach]
[[i] 本帖最後由 chiang 於 2016-5-23 09:35 PM 編輯 [/i]]
回復 18# chiang 的帖子
第3題某學生想安排週日一天的讀書活動，他將時間分成上午四節、下午四節，共八節等長的時間，欲安排入三節數學，以及英文、國文、化學、物理、公民各一節，但是為了避免讀書太單調，所以不管是分別在上午或下午的時段中，任兩節數學課都不可以連排，又因為中午有休息的關係，可以第四、五節同時排數學，則他本次週日的讀書活動有多少種排法？
[解答]
上午排2節數學，下午排1節或反之
上午排2節數學有3種排法，下午排1節數學有4種排法
所求=3*4*5!*2
第4題
近幾年的新聞有看過冤獄國賠的例子，情形如下：凡經檢方起訴，經法官一審後被判有罪，即須入監服刑，服刑完畢之後，無罪的人一定會提起冤獄賠償訴訟，而有罪的人會提起冤獄賠償訴訟的機率為\( \displaystyle \frac{1}{2} \)，且冤獄賠償訴訟只能提告一次，經法官判定後即不能再上訴。假設
(1)被檢方起訴的人有\( \displaystyle \frac{4}{5} \)的人真的有罪，
(2)每位法官誤判的機率為\( \displaystyle \frac{1}{10} \)。
若已知有一個人被判有罪，服滿刑期後，提起了冤獄訴訟，而獲得了國賠。請問他真的應該獲得國賠的機率為？
[解答]
有罪的人，判決有罪，提出國賠，獲得國賠：\( \displaystyle \frac{4}{5}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}\)
無罪的人，判決有罪，提出國賠，獲得國賠：\( \displaystyle \frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}\)
所求\( \frac{\displaystyle \frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}}{\displaystyle \frac{4}{5}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}+\frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}}\)
回復 18# chiang 的帖子
Chiang兄 我計算第一題跟你的想法做法一樣 看分數是有拿到的 但是我第二題也有寫 可是時間不夠程度不夠沒逼出來 不知道是否有部份分數 總之第一題照您的做法是有分數的 只是不知道是否10分都有就是了此外附上第5題 在下野人獻曝的做法
5.
設實數\( a,b,c,d \)滿足\( a^2+b^2=9 \)且\( (c-5)^2+(d-12)^2=4 \)，則\( ad-bc \)的最大值為？