105全國聯招
我覺得計算第一題目好像出錯了，正四面體兩歪斜向量不是要垂直嗎？ 想問看看計算題要怎麼算阿，感謝~ [quote]原帖由 [i]rueichi[/i] 於 2016-5-7 12:10 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15278&ptid=2498][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]我覺得計算第一題目好像出錯了，正四面體兩歪斜向量不是要垂直嗎？ [/quote]
怎麼這麼快就被發現了 [quote]原帖由 [i]sega0806[/i] 於 2016-5-7 01:37 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15280&ptid=2498][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想問看看計算題要怎麼算阿，感謝~ [/quote]
計算2: 座標化試試看~~
回復 4# Ellipse 的帖子
座標化+1，答案是\(\frac{5}{6}\) 請教複選第11題C選項喔沒事了，
其實就是要用\(x+1,x-1,x+2,x-2\)判斷吧
回復 2# sega0806 的帖子
参考看看，順便附上填充8坐標平面上，不等式\(\displaystyle \frac{|\;4x+7y|\;}{3}+\frac{|\;5x+2y|\;}{4}\le 1\)所圍成的區域面積為[u] [/u]。
計算題2.
已知\(\Delta ABC\)為邊長為1的正三角形，設\(\overline{BC}\)邊上有\(n-1\)個等分點，由\(B\)點到\(C\)點的順序為\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{n-1}\)，且令\(B=P_0\)，\(C=P_n\)。若\(S_n=\vec{AB}\cdot \vec{AP_1}+\vec{AP_1}\cdot \vec{AP_2}+\vec{AP_2}\cdot \vec{AP_3}+\ldots+\vec{AP_{n-1}}\cdot \vec{AC}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n}=\)。
113.2.6補充
三角形\(AX_0X_{25}\)，已知\(\overline{AX_0}=3\)，\(\overline{AX_{25}}=4\)，\(\overline{X_0X_{25}}=5\)，且點\(X_1\)、\(X_2\)、…、\(X_{24}\)依序將斜邊等分成25等分，試求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{25}\vec{AX_{k-1}}\cdot \vec{AX_k}=\)[u] [/u]。
(104北一女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2218&page=1#pid12958[/url])
112.1.6補充
在\(\Delta ABC\)中，\(\displaystyle \overline{AB}=\overline{AC},\overline{BC}=12,\angle A=\frac{2}{3}\pi\)。今將\(\overline{BC}\)等分成十段，其分點分別為\(P_1,P_2,\ldots,P_9\)，設\(x_i=\overline{AP_i}^2+\overline{BP_i}\times \overline{CP_i},i=1,2,\ldots,9\)，求\(\displaystyle \sum_{i=1}^9 x_i=\)？
(89高中數學能力競賽 屏東區試題(一))
113.4.29補充
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}=2\)，\(\overline{BC}\)邊上有100個相異點\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{100}\)，若\(m_i=\overline{AP_i}^2+\overline{BP_i}\cdot \overline{CP_i}(i=1,2,\ldots,100)\)，則\(m_1+m_2+m_3+\ldots+m_{100}\)之值為何？
(113鳳新高中，[url]https://math.pro/db/thread-3855-1-1.html[/url])
平面上，設\(\Delta ABC\)為等腰直角三角形，其中\(\angle C\)為直角且\(\overline{AC}=1\)，在\(\overline{AB}\)上取\(n\)等分點\(P_0=A,P_1,P_2,P_3,\ldots,P_n=B\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \vec{CP_{k-1}\cdot \vec{CP_k}}=\)[u] [/u]。
(112基隆女中第二次，[url]https://math.pro/db/thread-3803-1-1.html[/url]) 可以請高手講解一下填充第6題嗎？
我只求出ＰＤ＝根號６
之後就沒有任何頭緒了
另外想問選擇第１，正常要怎麼算。
我是直接用個位數去判別，
只剩一個選項可選。
[[i] 本帖最後由 csihcs 於 2016-5-7 09:44 PM 編輯 [/i]] 填充第10
坐標平面上，由原點\(O\)作圓\((x-6)^2+(y-7)^2=10\)得兩切點為\(A,B\)。設\(P\)為射線\(OB\)上一點，則\(\displaystyle \frac{\overline{PO}}{\overline{PA}}\)的最大值為[u] [/u]。
[attach]3339[/attach]
難過，考試的時候來不及寫。 感謝各位大大精彩的解法，不知計算第一題最後會不會送分阿~
(第10題的答案還真複雜阿~） 回覆第十題
坐標平面上，由原點\(O\)作圓\((x-6)^2+(y-7)^2=10\)得兩切點為\(A,B\)。設\(P\)為射線\(OB\)上一點，則\(\displaystyle \frac{\overline{PO}}{\overline{PA}}\)的最大值為[u] [/u]。
令圓心為D，則 \(\displaystyle \sin \angle DOA= \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{85}}, \cos \angle DOA= \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{85}}\)
再令\( \angle PAO= \theta\)由正弦定理，\(\displaystyle \frac{\overline{PO}}{\overline{PA}}= \frac{\sin \theta}{\sin \angle AOP} \)
因 \(\displaystyle \sin \angle AOP = 2 \sin \angle DOA \cos \angle DOA= \frac{2 \sqrt{750}}{85} \)，又\( \sin \theta \) 的最大值為1
因此所求等於 \(\displaystyle \frac{1}{\sin \angle AOP } = \frac{85}{2 \sqrt{750}}= \frac{17 \sqrt{30}}{60} \)
怎麼每次都出了考場才想到作法@@
回復 8# csihcs 的帖子
填充第6題設\(P\)是正方形\(ABCD\)內部一點，且\(P\)到\(A\)、\(B\)、\(C\)三頂點的距離分別為1、2、3，求此正方形的面積為[u] [/u]。
∠PBA=α，∠PBC=β，正方形邊長為\(a\)
\(\begin{align}
& \cos \alpha =\frac{{{a}^{2}}+{{2}^{2}}-{{1}^{2}}}{2\times a\times 2}=\frac{{{a}^{2}}+3}{4a} \\
& \sin \alpha =\cos \beta =\frac{{{a}^{2}}+{{2}^{2}}-{{3}^{2}}}{2\times a\times 2}=\frac{{{a}^{2}}-5}{4a} \\
& {{\left( \frac{{{a}^{2}}+3}{4a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{a}^{2}}-5}{4a} \right)}^{2}}=1 \\
& {{a}^{2}}=5+2\sqrt{2}\ or\ 5-2\sqrt{2} \\
\end{align}\)
\(5-2\sqrt{2}\)不合
回復 8# csihcs 的帖子
單選第1題級數\(4^5+5^5+6^5+7^5+9^5+11^5=\)？(A)\(12^5\) (B)\(13^5\) (C)\(14^5\) (D)\(15^5\)
真的要算也是差不多的方法
\({{n}^{5}}\equiv n\ \left( \bmod \ 10 \right)\)
令\({{n}^{5}}={{4}^{5}}+{{5}^{5}}+{{6}^{5}}+{{7}^{5}}+{{9}^{5}}+{{11}^{5}}\)
\({{n}^{5}}\equiv 4+5+6+7+9+11\equiv 2\ \left( \bmod \ 10 \right)\)
\(\begin{align}
& {{4}^{5}}<{{n}^{5}}<6\times {{11}^{5}}<{{2}^{5}}\times {{11}^{5}} \\
& 4<n<22 \\
& n=12 \\
\end{align}\) 已知\(\Delta ABC\)為邊長為1的正三角形，設\(\overline{BC}\)邊上有\(n-1\)個等分點，由\(B\)點到\(C\)點的順序為\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{n-1}\)，且令\(B=P_0\)，\(C=P_n\)。若\(S_n=\vec{AB}\cdot \vec{AP_1}+\vec{AP_1}\cdot \vec{AP_2}+\vec{AP_2}\cdot \vec{AP_3}+\ldots+\vec{AP_{n-1}}\cdot \vec{AC}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n}=\)。
[size=3](亂入一下) 計算題 2.如果出在"非計算題"，則我會用以下"投機"的解法。至於是否說得通，請各位老師指導。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]想法: 題意即求 n → [size=3]∞[/size] 時，"相鄰兩向量內積的平均"。由於 n → [size=3]∞[/size] 時，向量內積 AP[size=1]k[/size]．AP[size=1]K[/size]₊₁ → AP[size=1]k[/size]² (或 AP[size=1]k₊₁[/size]²)，故所求 = "各 AP[size=1]i [/size]² 的平均"。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]由對稱性，可以只考慮一半圖形，如下圖:[/size]
[size=3][img]http://i.imgur.com/WImJoWb.png[/img][/size]
[size=3]由畢氏定理，所求諸 AP[size=1]i [/size]² 的平均[/size]
[size=3][/size]
[size=3]= (√3/2)² + [color=blue]lim[/color][color=blue] (1/2)² * [ (1/n)² + (2/n)² + ... + [(n/n)² ] * (1/n)[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=black]= 3/4 +[/color][color=blue] lim[/color] [color=blue](1/4)*n(n+1)(2n+1) / 6n³[/color][/size]
[size=3][color=#0000ff][/color][/size]
[size=3][color=black]= 3/4 + [color=blue]1/12[/color][/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]= [color=red]5/6[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]反思: 若懷疑此答案非所求，例如: 所求應 = t*(5/6)，0 < t < 1; 則論證如下:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]如上圖，必存在一足夠大的 m，使當 n > m 時，皆有 AP[size=1]k[/size]．AP[size=1]K[/size]₊₁ / AP[size=1]k₊₁[/size]² > t，矛盾。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]或者，亦可用 "夾擠定理" 來體會並論證。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2016-5-8 01:13 AM 編輯 [/i]]
回復 13# thepiano 的帖子
先謝謝鋼琴老師的講解只是有個疑惑是
\({{n}^{5}}\equiv n\ \left( \bmod \ 10 \right)\)
這是怎麼知道的
回復 15# csihcs 的帖子
\(\begin{align}& {{0}^{5}}\equiv 0\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{1}^{5}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{2}^{5}}\equiv 2\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{3}^{5}}\equiv 3\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{4}^{5}}\equiv 4\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{5}^{5}}\equiv 5\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{6}^{5}}\equiv 6\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{7}^{5}}\equiv 7\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{8}^{5}}\equiv 8\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{9}^{5}}\equiv 9\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
\end{align}\) 不好意思 請教一下各位大大~~ 計算第一題答案是根號10嗎? [b]回復 15# csihcs 的帖子[/b]
[size=3]關於 n⁵ ≡ n (mod 10)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]亦可:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]n⁵ - n = n (n² - 1) (n² + 1) = (n - 1) n (n + 1) (n² + 1) = (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2) + 5 (n - 1) n (n + 1) 必為 10 的倍數[/size]
[size=3][/size]
[size=3]或者:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]n⁵ ≡ n (mod 2) (易證)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]n⁵ ≡ n (mod 5) (費馬小定理)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]故 n⁵ ≡ n (mod 10)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]引申: 當 n 是奇質數，m ∈ N，則 mⁿ ≡ m (mod 2n)[/size]
[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2016-5-9 04:00 PM 編輯 [/i]] 感謝各位老師的指導