105永春高中
趁印象還很新鮮的時候打下來，有錯還請指正！請教計算3，我已經想到邊長1的正三角行內部一點到三邊距離為 \( \sqrt{\frac{1}{48}}, \sqrt{\frac{1}{12}}, \sqrt{\frac{3}{16}} \)
但此點到三頂點的距離還想不出怎麼算。
另外，數學的符號要怎麼打@@
105.5.6版主補充
兩邊加上半形的＼（和＼）
範例
＼（ \sqrt{2} ＼） 填充題
1.
由數字1到9各出現一次所組成的9位數中，能被11整除的最大數字為？
(這裡有解答，[url]http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=10262[/url])
3.
如圖，設圓\(O\)通過\(A(0,1),B(2,0),C(k,0)\)三點，若圓\(O\)在\(C\)點的切線斜率為1，求\(k\)？
(高中數學101 第60單元圓與直線，83大學聯考社會組)
6.
某次數學考試共有15題，下表是做對\(n(n=0,1,2,\ldots,15)\)題的人數統計表，如果其中做對4題以上(含4題)的學生每人平均做對6題，做對10題以下(含10題)的學生每人平均做對4題，則這個表至少統計了多少人？
[table][tr][td]n[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]…[/td][td]12[/td][td]13[/td][td]14[/td][td]15[/td][/tr]
[tr][td]做對\(n\)題人數[/td][td]7[/td][td]8[/td][td]10[/td][td]21[/td][td]…[/td][td]15[/td][td]6[/td][td]3[/td][td]1[/td][/tr][/table]
(建中通訊解題 第99期，[url]http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37[/url])
計算證明題
3.
解方程式\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{48}}+\sqrt{y-\frac{1}{48}}=1,\sqrt{y-\frac{1}{12}}+\sqrt{z-\frac{1}{12}}=1,\sqrt{z-\frac{3}{16}}+\sqrt{x-\frac{3}{16}}=1 \)
[提示]
\(cos60^{\circ}=cos \alpha cos \beta-sin \alpha sin \beta\)
\( \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{y-\frac{1}{48}}}{\sqrt{y}}\cdot \frac{\sqrt{y-\frac{1}{12}}}{\sqrt{y}}-\frac{\frac{1}{4\sqrt{3}}}{\sqrt{y}}\cdot \frac{\frac{1}{2 \sqrt{3}}}{\sqrt{y}} \)
\( \displaystyle \frac{1}{2}y+\frac{1}{24}=\sqrt{(y-\frac{1}{48})(y-\frac{1}{12})} \)
\( \displaystyle \frac{y^2}{4}+\frac{y}{24}+\frac{1}{576}=y^2-\frac{5}{48}y+\frac{1}{576} \)
\( \displaystyle \frac{3}{4}y^2-\frac{7}{48}y=0 \)
\( \displaystyle y=\frac{7}{36} \)
同理
\( \displaystyle z=\frac{19}{36} \)，\( \displaystyle x=\frac{13}{36} \)
請教填充4和8
感謝老師們的回答回復 3# idsharon 的帖子
第8題平面上有兩圓\(C_1\)：\( \displaystyle x^2+y^2=\left( \frac{a}{2} \right)^2 \)，\( C_2 \)：\( x^2+y^2=a^2 \)及一點\( R(b,0) \),\( b>a \)，自\( R \)點作\( C_1 \),\( C_2 \)的切線。若在第一象限的切點分別為\( P,Q \)，令\( O \)為原點，\(∠POQ=\theta\)，求\( \theta \)的範圍。
[解答]
不失一般性，設\(a=2\)
\(\begin{align}
& P\left( \frac{1}{b},\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-1}}{b} \right),Q\left( \frac{4}{b},\frac{2\sqrt{{{b}^{2}}-4}}{b} \right),R\left( b,0 \right),b>2 \\
& {{\overline{PQ}}^{2}}=5-\frac{8+4\sqrt{\left( {{b}^{2}}-1 \right)\left( {{b}^{2}}-4 \right)}}{{{b}^{2}}} \\
& \cos \theta =\frac{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}-\left[ 5-\frac{8+4\sqrt{\left( {{b}^{2}}-1 \right)\left( {{b}^{2}}-4 \right)}}{{{b}^{2}}} \right]}{2\times 1\times 2} \\
& =\frac{2+\sqrt{\left( {{b}^{2}}-1 \right)\left( {{b}^{2}}-4 \right)}}{{{b}^{2}}} \\
& =\frac{2}{{{b}^{2}}}+\sqrt{1-\frac{5}{{{b}^{2}}}+\frac{4}{{{b}^{4}}}} \\
& b\to {{2}^{+}},\cos \theta \to \frac{1}{2} \\
& b\to \infty ,\cos \theta \to 1 \\
& 0<\theta <\frac{\pi }{3} \\
\end{align}\)
回復 3# idsharon 的帖子
第4題設\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)為平面上三個非零向量，已知\(|\;\vec{a}|\;=4\)，\(|\;\vec{b}|\;=6\)，\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)的正射影長是1。若\(\vec{c}\)滿足\((\vec{c}-\vec{a})(\vec{c}-\vec{b})=0\)，請問\(|\;\vec{c}|\;\)的最大值為何？
(C - A) (C - B) = 0，表示兩向量垂直，
(C - A)、(C - B)、(C - A) - (C - B) 為直角三角形之三邊長
|C - A|^2 + |C - B|^2 = |B - A|^\2 大略算一下，有錯請指教
1 987652413
2 n=1、2、4、6。（4個）
3 -3
4 \(4+\sqrt{10}\)
5 \(y=x^2+3x+2\)
6 200
7 895
8 0°<θ<60°
計算
1 面積\(4\sqrt{14}\) 周長 16
2 \(\displaystyle 192\frac{\pi}{5}\)
3
回復 4# thepiano 的帖子
感謝鋼琴老師~~回復 5# valkyriea 的帖子
能請老師在往後寫幾步驟嗎？小女不才想不出後面該怎麼做>"<
回復 8# idsharon 的帖子
請参考cefeprime大大回復 6# eyeready 的帖子
填充第 2 題是問 n 有幾個計算第 1 題的面積應是 4√14
回復 10# thepiano 的帖子
已更正，謝謝鋼琴老師^^ [size=3]填充題 4.，個人想法如下，請教是否有誤。[/size]設\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)為平面上三個非零向量，已知\(|\;\vec{a}|\;=4\)，\(|\;\vec{b}|\;=6\)，\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)的正射影長是1。若\(\vec{c}\)滿足\((\vec{c}-\vec{a})(\vec{c}-\vec{b})=0\)，請問\(|\;\vec{c}|\;\)的最大值為何？
[size=3][/size]
[size=3][img]http://i.imgur.com/edOyTRq.png[/img][/size]
[size=3]如上圖，把向量 a, b, c 的始點定為 O，終點依次分別為 A, B, C; 則依題意，C 的軌跡為以 AB 為直徑的圓 (M 為圓心)。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]OC 的最大值，即 OM + MC。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]OA = 4，OB = 6，cos θ = 1/4[/size]
[size=3][/size]
[size=3]由餘弦定理與中線定理:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]AB = √ (16 + 36 - 12) = √40 ⇒ MC = √10[/size]
[size=3][/size]
[size=3]OM = (1/2)*√[2*(16 + 36) - 40] = 4[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求 = OM + MC = [color=red]4 + √10[/color] [/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
回復 12# cefepime 的帖子
cefepime大大，您是對的，小弟思慮還不周全@@回復 2# bugmens 的帖子
您解的好,但那只能說是其中的一個解而已應該再加上一個說明以證明沒別的解如下:
以您的解出發,若x再大一點則由(1)知y會小一點,
再由(2)知z會大一點,再由(3)知x會小一點,得出矛盾
同理若x想比13/36小也是不行的.
填充2的解
填充2的解如下:設\(n \in N\)，請問有幾個\(n\)能使\(8^n+n\)是\(2^n+n\)的倍數？
[解答]
2^n+n I 8^n+n , 又 2^n+n I (2^n)^3+n^3 , 兩式相減知 原式與2^n+n I n^3-n 等價
但n>=10時2^n+n > n^3-n>0 為無解,故只需測試n=1--9即可得n=1,2,4,6為解
同法可得2^n+n I 16^n+n 的解為 n=2,4,16
計算3的延伸
[attach]3350[/attach] [attach]3351[/attach] [size=3]填充 8.[/size] [size=3]嘗試由 "觀察圖形" 來推測答案。[/size]平面上有兩圓\(C_1\)：\( \displaystyle x^2+y^2=\left( \frac{a}{2} \right)^2 \)，\( C_2 \)：\( x^2+y^2=a^2 \)及一點\( R(b,0) \),\( b>a \)，自\( R \)點作\( C_1 \),\( C_2 \)的切線。若在第一象限的切點分別為\( P,Q \)，令\( O \)為原點，\(∠POQ=\theta\)，求\( \theta \)的範圍。
[size=3][/size]
[size=3]題意可轉化為: 60° < ∠POR < 90°，0° < ∠QOR < 90°，cos∠POR / cos∠QOR = 1/2，求 θ = ∠POR - ∠QOR 的範圍。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][img]http://i.imgur.com/yAhbpQq.png[/img][/size]
[size=3]上圖左，為二個以原點為圓心，半徑分別為 kr (0<k<1) 與 r 的四分之一圓。考慮在兩個圓周上，x 坐標相等之兩點的 y 坐標差 (即綠色線段長)。易知隨 x 值遞增 (0 → kr)，y 坐標差值亦遞增。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]上圖右，即圖示∠POR 與 ∠QOR 之關係。紅藍兩圓半徑比 = 2 : 1，從而 cos∠POR / cos∠QOR = 1/2。當 P 點的 x 坐標由 0 遞增至 r/2，PS 線段長亦隨之遞增 (依上述)， 從而 θ 角亦遞增 (由 △POS 之正弦定理，或在本題亦可用 △POQ 之中線定理)。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]綜上，得 0° < θ < 60°。[/size]
[size=3][/size]
[size=3](若本題的餘弦比是其他常數，亦可類比以上圖解與結果)[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
回復 4# thepiano 的帖子
cos(POR)=1/bcos(QOR)=2/b
故cos(POQ)=cos(POR-POQ)=CC+SS=2/(bb)+sqrt(bb-1)sqrt(bb-4)/(bb)
回復 12# cefepime 的帖子
解題過程中，應考慮 OA 向量 OB 向量夾角為鈍角的情況！但最後答案相同。 回復 22# Chen 的帖子
[size=3]Chen 老師所言甚是。也藉這個機會請版友們思考一下: 那麼是否需要再計算 向量a 與 向量b 的夾角是鈍角的情形?[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]在 12# 的圖中，我們把 △AOB 完善為一個平行四邊形 AOBO'，則向量 BO' 與 向量 BO 即為前述夾鈍角的情況。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]由圖易知: 夾銳角時，所求 = OM + MB，而夾鈍角時，所求 = MB + OM，因此兩者必然是相等的。[/size]
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