[/size]
[size=3]thepiano 老師的方法大概是最簡潔的![/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]個人嘗試:[/size]
[size=3][/size][size=3][color=blue][/color][/size]
[size=3][color=blue]1. 排序不等式及其衍申[/color][/size]
[size=3][/size]
[color=seagreen][size=3]1-1 排序不等式 /[/size][size=4][size=3] Chebyshev[/size] 不等式[/size]
[/color][size=3][/size]
[size=3]3 (a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c) (a² + b² + c²) ≥ (a + b + c) (ab + bc + ca)，得證。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=seagreen]1-2 微微對偶不等式[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]a³ + b³ + c³ ≥ 3abc[/size]
[size=3]a³ + b³ + c³ ≥ a²b + b²c + c²a[/size]
[size=3]a³ + b³ + c³ ≥ a²c + b²a + c²b[/size]
[size=3][/size]
[size=3]三式相加，得證。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=blue][/color][/size]
[size=3][color=blue]2. Jensen 不等式[/color][/size]
[size=3]3 (a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³ / 3[/size]
[size=3][/size]
[size=3](a + b + c)² ≥ 3 (ab + bc + ca)
[size=3][/size]
[size=3]綜上得證。[/size]
[/size]
[size=3][color=blue]3. 柯西不等式(推廣型)[/color] [不知道教甄是否允許逕用此法?]
(a³ + b³ + c³) (1 +1 +1) (1 + 1 + 1) ≥ (a + b + c)³
(a³ + b³ + c³) (b³ + c³ + a³) (1 + 1 + 1) ≥ (ab + bc + ca)³
二式相乘，開立方，得證。
[/size]
[size=3][color=blue]4. Muirhead 不等式[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]因 (3, 0, 0) 蓋 (1, 1, 1) ⇒ a³ + b³ + c³ ≥ 3abc[/size]
[size=3][/size]
[size=3]因 (3, 0, 0) 蓋 (2, 1, 0) ⇒ 2a³ + 2b³ + 2c³ ≥ a²b + b²c + c²a + ab² + bc² + ca²[/size]
[size=3][/size]
[size=3]二式相加，得證。[/size]
[size=3][/size]
[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-22 02:22 PM 編輯 [/i]]
回復 4# 小蝦米 的帖子
第七題直接算，計算過程有點冗長可以請教一下想法嗎？
謝謝
[[i] 本帖最後由 Sandy 於 2016-5-2 04:42 PM 編輯 [/i]]
回復 18# leo790124 的帖子
\(\begin{align}& {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\ge ab \\
& \left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\ge ab\left( a+b \right) \\
& {{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge {{a}^{2}}b+{{b}^{2}a} \\
\end{align}\)
回復 22# Sandy 的帖子
第 7 題a_1 + a_2 + ... + a_11 = 6
0 ≦ a_1，a_2，...，a_11 ≦ 4
所以要扣掉 a_1，a_2，...，a_11 = 6 和 a_1，a_2，...，a_11 = 5 的情形
回復 21# cefepime 的帖子
教甄可用廣義柯西不等式回復 22# Sandy 的帖子
看成11個相同的袋子，每個袋子最多有4顆球 全部共有6顆，放法有H(11,6)-C(11,1)*H(11,1)=7887 小弟算的參考答案，有錯誤請指正
1 83
2 [(1/4)^n+2]*(1/3)
3 26根號2
4 (x-0.5)^8
5 太難打了
6 (36+25根號3)*(1/4)
7 7887
8 4根號593
9 9
10 404
11 369/400
12 1/2
13 1/3
14 2015又2015/2016
15 20°
16 3
17 52
18 排序不等式
[[i] 本帖最後由 eyeready 於 2016-5-3 10:49 AM 編輯 [/i]]
回復 27# eyeready 的帖子
4.[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x-0.5)%5E8]http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x-0.5)%5E8[/url]回復 27# eyeready 的帖子
eyeready您好4. 應該打錯了是(x-1/2)^8才對
回復 29# gamaisme 的帖子
已更正，感謝！回復 27# eyeready 的帖子
不好意思，請問一下第8題您如何計算的?我算出來的答案跟你不一樣(且大很多
回復 31# CyberCat 的帖子
第 8 題當 AE 和 BD 交於 P 時，PE + PC = AE 有最小值
回復 32# thepiano 的帖子
感謝鋼琴老師提點，我懂了！！回復 13# thepiano 的帖子
鋼琴老師好 :看了第五題的題示後
小弟還是不會做 XD
可否請老師再仔細說明 ， 謝謝 !
回復 34# hsifeht 的帖子
第5題請參考
[url]https://dl.dropboxusercontent.com/u/53005093/20160501_3.docx[/url]
回復 35# thepiano 的帖子
小弟謝謝鋼琴老師 !! 謝謝 !!回復 10# peter0210 的帖子
沒錯,1/6(1/2)(1/2)(1)=1/3(1-1/8-1/4-1/4)hh=1/3
想再請問第4題
雖有提示，但第4題還是不知如何下手，可否再請教一下。謝謝回復 38# shihtc 的帖子
第4題\(\begin{align}
& {{x}_{1}}+x{}_{2}+\cdots +{{x}_{8}}=4 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}+\cdots +{{x}_{7}}{{x}_{8}}=7 \\
& \\
& {{x}_{1}}^{2}+x{{{}_{2}}^{2}}+\cdots +{{x}_{8}}^{2} \\
& ={{\left( {{x}_{1}}+x{}_{2}+\cdots +{{x}_{8}} \right)}^{2}}-2\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}+\cdots +{{x}_{7}}{{x}_{8}} \right) \\
& =2 \\
& \\
& {{\left( {{x}_{1}}+x{}_{2}+\cdots +{{x}_{8}} \right)}^{2}}\le \left( {{x}_{1}}^{2}+x{{{}_{2}}^{2}}+\cdots +{{x}_{8}}^{2} \right)\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+\cdots +{{1}^{2}} \right) \\
\end{align}\)
等號成立於\({{x}_{1}}={{x}_{2}}=\cdots ={{x}_{8}}=\frac{1}{2}\)
請問第10題
在1^2, 2^2, 3^2,...., 2016^2這些數中十位數字為奇數的數共有幾個？piano老師講解的，不太懂，可以教一下嗎？
謝謝！