105彰化高中
105.5.3補充公告本校105學年度第1次教師甄選第一階段錄取名單
一、第一階段錄取名單請詳見附件公告(本階段數學最低錄取分數為59分，國文最低錄取分數57分)。
二、第一階段錄取進入第二階段甄試人員，請下載口試共同問題表於105年5月8日(星期日)上午8時至8時30分報名時一併繳交。
[url]http://www.chsh.chc.edu.tw/files/14-1000-7229,r44-1.php[/url] 2.
設甲乙兩袋球，甲袋有一白球一黑球，乙袋有一白球，從甲袋隨機取一球放入乙袋，再從乙袋隨機取一球放回甲袋，完成這樣的動作稱為一局，試求\(n\)局後甲袋有一白球一黑球的機率為何？
(101文華高中，shiauy提供的詳解[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=7#pid5410[/url])
(110彰化女中，[url]https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html[/url])
6.
\(P\)為正三角形\( \Delta ABC \)內的一點，其中\( \overline{PA}=4 \)、\(\overline{PB}=5\)、\(\overline{PC}=3\)，試求\( \Delta ABC \)的面積。
建中通訊解題第106期有這類問題的解答，[url]http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37[/url]
或是參考這篇[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2259&page=1#pid13359[/url]
7.
若多項式\( (1+x+x^2+x^3+x^4)^{11}=1+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{43}x^{43}+x^{44} \)，試求\( a_6= \)？
若多項式\( (1+x+x^2+x^3+x^4)^{11} \)的展開式為\( 1+a_1x+a_2x^2+a+\ldots+a_{43}a^{43}+x^{44} \)，試求實數\( a_{2} \)之值。
(90全國高中數學競賽 高屏區，[url]http://www.tcfsh.tc.edu.tw/mediafile/4190020/knowledge/62/2/58/2012-11-26-17-14-2-nf1.pdf[/url] 第14頁)
9.
設\(x,y \in R\)，則\( \sqrt{x^2+y^2-2x+4y+9}+\sqrt{x^2+y^2+6x-4y+38} \)的最小值為何？
[提示]
\(\sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2+(0-2)^2}+\sqrt{(x+3)^2+(y-2)^2+(0-5)^2}\)
14.
\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}= \)？
(建中通訊解題第88期有解答，[url]http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37[/url])
15.
如圖，若\(\overline{AB}\)為直徑，\(O\)為圓心，\(E\)、\(F\)為圓上兩相異點，\(D\)在\(\overline{OB}\)上且\(∠OED=∠OFD=20^{\circ}\)，\(∠AOE=60^{\circ}\)，求\(∠BOF=\)？
下圖表示以\(C\)為圓心，\(\overline{AB}\)為直徑之半圓，設\(E\)，\(F\)為半圓周上兩相異點，\(D\)點在\(\overline{BC}\)上且有\( ∠CED=∠CFD=10^{\circ} \)，若\(∠ACE=40^{\circ} \)，試求\( ∠BCF \)的度數。
(88高中數學能力競賽，[url]http://www.tcfsh.tc.edu.tw/mediafile/4190020/knowledge/62/2/56/2012-11-26-17-13-2-nf1.pdf[/url] 第22頁)
17.
若對\( n=4,6,8,10 \)，實數\(a,b,c,d\)滿足\( \displaystyle \frac{a^2}{n^2-3^2}+\frac{b^2}{n^2-5^2}+\frac{c^2}{n^2-7^2}+\frac{d^2}{n^2-9^2}=1 \)，求\(a^2+b^2+c^2+d^2=\)？
Determine \( w^2+x^2+y^2+z^2 \) if
\( \displaystyle \frac{x^2}{2^2-1}+\frac{y^2}{2^2-3^2}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1 \)
\( \displaystyle \frac{x^2}{4^2-1}+\frac{y^2}{4^2-3^2}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1 \)
\( \displaystyle \frac{x^2}{6^2-1}+\frac{y^2}{6^2-3^2}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1 \)
\( \displaystyle \frac{x^2}{8^2-1}+\frac{y^2}{8^2-3^2}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1 \)
(1984AIME，[url]https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=1984_AIME_Problems/Problem_15[/url])
(104第二學期中山大學雙週一題，[url]http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2016s/3ans.pdf[/url])
(建中通訊解題第72期)
110.2.10補充
已知實數\(a,b,c\)滿足下列條件：
\(\cases{\displaystyle \frac{a}{1^2+2^2}+\frac{b}{2^2+3^2}+\frac{c}{2^2+5^2}=1\cr
\frac{a}{1^2+4^2}+\frac{b}{3^2+4^2}+\frac{c}{4^2+5^2}=1\cr
\frac{a}{1^2+6^2}+\frac{b}{3^2+6^2}+\frac{c}{5^2+6^2}=1}\)
試求\(a+b+c\)之值。
(109高中數學能力競賽 高雄市複試筆試一，[url]https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html[/url])
112.5.7補充
若實數\(x\)、\(y\)、\(z\)滿足\(\cases{\displaystyle \frac{x}{1^2+4^2}+\frac{y}{1^2+5^2}+\frac{z}{1^2+6^2}=1 \cr
\frac{x}{2^2+4^2}+\frac{y}{2^2+5^2}+\frac{z}{2^2+6^2}=1 \cr
\frac{x}{3^2+4^2}+\frac{y}{3^2+5^2}+\frac{z}{3^2+6^2}=1}\)，求\(x+y+z=\)[u] [/u]。
(112全國高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3740-1-1.html[/url]) [quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2016-4-30 12:05 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15191&ptid=2492][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
[/quote]
#14
琴生不等式~~ # 7
請問用H(11,6)-C(11,1)H(11,1)是對的嗎?
回復 4# 小蝦米 的帖子
這樣答案是7887，跟小弟算的一樣 想請教 1 4 10 這三題另外想請問 這幾題的答案是否正確? 2. 2/3
12. 1/2
16. (根號６-根號４)/4
謝謝各位前輩。
回復 6# EZWrookie 的帖子
第 1 題把 y、z、u 用 x 來表示
第 4 題
根與係數搭配柯西
第 10 題
(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2
b^2 的十位要奇數
另外
第 2 題的答案應是要以 n 來表示
第 12 題答案正確
第 16 題小弟是算 3
回復 7# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師的講解， 2 10 16 這三題都解決了!1. 4.這兩題還在思考中。
回復 5# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師! 請教13題，小弟一直算1/3回復 10# peter0210 的帖子
第 13 題您的答案正確 想要請問 #5 #15 #16 這三題
多謝各位老師們 [quote]原帖由 [i]agan325[/i] 於 2016-4-30 10:38 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15205&ptid=2492][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想要請問 #5 #15 #16 這三題[/quote]
第5題
分別用\(a=\frac{x-3}{x+1},x=\frac{3+a}{1-a}\)和\(b=\frac{3+x}{1-x},x=\frac{b-3}{1+b}\)代入原方程，可得兩方程，再解聯立
第15題
見圖，圖上的C請自行改成O
第16題
先解\(1+i\)的三次方根，再分別算\(\tan \frac{\pi }{12},\tan \frac{9\pi }{12},\tan \frac{17\pi }{12}\)的值
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2016-4-30 11:08 PM 編輯 [/i]]
回復 13# thepiano 的帖子
非常感謝鋼琴師 大力解決我的疑惑 [quote]原帖由 [i]peter0210[/i] 於 2016-4-30 09:04 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15203&ptid=2492][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請教13題，小弟一直算1/3 [/quote]
請教
這題怎算?
我想用座標，可是掛點，轉不出頭緒
另，再追問12題,
謝謝 12題
可以變成1+2a/x-a 再試試看
13題
R對PQ垂足點H
再求RH RA HA 應該就可以求高了
想問一下18的證明
我把它移項<0 然後再來是用公式展開嗎??
做不出來可以請老師提示一下嗎??
回復 16# litlesweetx 的帖子
第18題\(\begin{align}
& {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}\ge 3abc \\
& {{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}a \\
& {{b}^{3}}+{{c}^{3}}\ge {{b}^{2}}c+{{c}^{2}}b \\
& {{c}^{3}}+{{a}^{3}}\ge {{c}^{2}}a+{{a}^{2}}c \\
\end{align}\)
回復 17# thepiano 的帖子
請問下面三條式子是利用到排序不等式嗎? 13.注意到 RA, RP, RQ 兩兩垂直，故 R-APQ 體積 = (1/6)*(1/2)*(1/2)*1 = (1/3)*(a△APQ)*h
又 a△APQ = 1 - (1/4) - (1/4) - (1/8) = 3/8，得 h = 1/3
想用坐標的話:
令 R 為原點，RQ, RP, RA 分別為 x, y, z 軸正向
由截距式，APQ 平面方程式: 2x + 2y + z = 1
再由距離公式: h = 1/√(4+4+1) = 1/3
回復 18# leo790124 的帖子
\( a^{3}+b^{3}= ( \frac{a^{3}}{3}+\frac{a^{3}}{3}+\frac{b^{3}}{3}) +( \frac{a^{3}}{3}+\frac{b^{3}}{3}+\frac{b^{3}}{3})\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{6}b^{3}}{27}} + 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}b^{6}}{27}} = a^{2}b+ab^{2} \)
同理可得 另兩式