Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 105台南女中

六道 發表於 2016-4-24 18:30

105台南女中

今天台南女中跟台南二中 同一天考試
這是校方提供的題目和解答 請大大們撥冗看看謝謝

105.4.26補充
美夢成真教甄論壇的討論
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=6061[/url]

六道 發表於 2016-4-24 18:34

回復 1# 六道 的帖子

填充14
已知\( A(−4,13,1) \)、\(  B(4,8,5) \)，若點\( P \)在平面\( E \)：\(x+3y-z=1 \)上，試求當\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2 \)有最小值時，\( P \)點之坐標[u]　　　[/u]

在下野人獻曝解這題...
這題要先求出\( A\)點到平面\(E\)的距離，然後求\(B\)點到平面\(E\)的距離
得到這兩個距離的比值之後 就是\( \overline{AP}\)比\( \overline{PB} \) 的比例
接下來只要用分點座標公式 即可求出\(P\)點座標

bugmens 發表於 2016-4-24 18:57

填充題
1.
\(n\)為自然數，若\( \displaystyle a_1=\frac{1}{2} \)，\( a_{n+1}=2(a_n+1) \)，求數列\(  \)的第100項\(a_{100}=\)[u]　　　[/u]。
(我的教甄準備之路　求數列一般項，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507[/url])


9.
\(a_n\)為\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)這\(n\)個數的標準差，求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n\)之值[u]　　　[/u]

將\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)等\(n\)個數的算術平均數記為\(a_n\)，其標準差記為\(b_n\)，則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\)[u]　　　[/u]，\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\)[u]　　　[/u]。
(81大學聯考，[url]https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html[/url])


計算題
1.
\(n\)為正整數，証明：\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \cdot k!=(n+1)!-1 \)
[提示]
\( k \cdot k!=(k+1)!-k! \)


2.
\(f(x) \)是二次多項式，若實數\(a,b,c\)使得\( f(15)=af(11)+bf(12)+cf(14) \)，求\(a+b+c\)。
[解答]
差分
\( \matrix{f(11)&　&f(12)&　&f(13)&　&f(14)&　&f(15) \cr
　&f(12)-f(11)&　&f(13)-f(12)&　&f(14)-f(13)&　&f(15)-f(14)&　\cr
　&　&f(13)-2f(12)+f(11)&　&f(14)-2f(13)+f(12)&　&f(15)-2f(14)+f(13)&　&　}\)

得到
\( f(13)-2f(12)+f(11)=f(14)-2f(13)+f(12)=f(15)-2f(14)+f(13) \)

\( f(13)-2f(12)+f(11)=f(14)-2f(13)+f(12) \)　，　\( 3f(13)=f(14)+3f(12)-f(11) \)
\( f(14)-2f(13)+f(12)=f(15)-2f(14)+f(13) \)　，　\( f(15)+3f(13)=3f(14)+f(12) \)
兩式相減得
\( f(15)=2f(14)-2f(12)+f(11) \)

延伸閱讀
巴貝奇定理，[url]https://math.pro/db/thread-673-1-1.html[/url]

八神庵 發表於 2016-4-24 20:56

[quote]原帖由 [i]六道[/i] 於 2016-4-24 06:34 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15096&ptid=2488][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
14.已知 A(−4,13,1) 、 B(4,8,5) ，若點 P 在平面 E：x+3y-z=1 上，試求當PA^2+PB^2有最小值時， P 點之坐標

在下野人獻曝解這題...
這題要先求出\( A\)點到平面\(E\)的距離 然後求\(B\)點到平面\(E\)的距離
得到這兩個距離的比值之後 就 ... [/quote]
敝人的作法比較投機
先求\(A\)在平面\(E\)的投影點\(A'\)
再求\(B\)在平面\(E\)的投影點\(B'\)
則線段\(A'B'\)的中點即為所求

八神庵 發表於 2016-4-24 20:59

[quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2016-4-24 06:57 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15097&ptid=2488][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
1.
\(n\)為自然數，若\( \displaystyle a_1=\frac{1}{2} \)，\( a_{n+1}=2(a_n+1) \)，求數列\(  \)的第100項\(a_{100}=\)　　　。
(我的教甄準備之路　求數列一般項，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid[/url] ... [/quote]
bugmens大
我也用差分
不過因為這個是二次多項式
三次的差分為0
即\(f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)-f(x)=0\)
\(x=11\)與12代入相加即為所求
不過南女公佈的參考解法為Lagrange 插值多項式....
真的很無言....

chiang 發表於 2016-4-25 21:36

請教填充3、4題

請教大大
填充3、4題
完全不知道如何下手!!......沮喪中
[attach]3290[/attach]
謝謝您

Ellipse 發表於 2016-4-25 23:08

[quote]原帖由 [i]chiang[/i] 於 2016-4-25 09:36 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15120&ptid=2488][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教大大
填充3、4題
完全不知道如何下手!!......沮喪中
3290
謝謝您 [/quote]
空間中三非零向量\(\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}\)，\(∠AOB=30^{\circ}\)，\(∠BOC=45^{\circ}\)，\(∠COA=60^{\circ}\)，令\(\theta\)為平面\(AOB\)及平面\(BOC\)的法向量夾角，則\(|\;cos \theta|\;=\)[u]　　　[/u]。

匆忙解題,字跡醜請見諒~~

weiye 發表於 2016-4-26 11:18

回復 6# chiang 的帖子

第五題
空間中三非零向量\(\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}\)，\(∠AOB=30^{\circ}\)，\(∠BOC=45^{\circ}\)，\(∠COA=60^{\circ}\)，令\(\theta\)為平面\(AOB\)及平面\(BOC\)的法向量夾角，則\(|\;cos \theta|\;=\)[u]　　　[/u]。
[attach]3295[/attach]

weiye 發表於 2016-4-26 11:27

回復 6# chiang 的帖子

第四題
紅、藍、綠、白四種顏色塗在下面的四個格子中，一個格子塗一種顏色，而每個顏色可重複使用，但翻轉相同視為同一種塗法(即紅、藍、綠、白與白、綠、藍、紅視為同一種)。則總共有[u]　　　[/u]種不同的塗法。
☐☐☐☐
[attach]3296[/attach]

byron0729 發表於 2016-4-26 20:32

想請教11.12.13~~懇請賜教

thepiano 發表於 2016-4-26 21:06

回復 10# byron0729 的帖子

第12題
函數\(f(x)=x^3-9x^2+15x-7\)圖形的切線中，過點\(P(0,a)\)的恰有相異兩條，求\(a\)之值=[u]　　　[/u]。
[解答]
過切點\(\left( t,{{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)\)的切線為\(y-\left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)=\left( 3{{t}^{2}}-18t+15 \right)\left( x-t \right)\)
過 P(0，a)
\(\begin{align}
  & a-\left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)=\left( 3{{t}^{2}}-18t+15 \right)\left( 0-t \right) \\
& a=-2{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}-7 \\
\end{align}\)
恰有兩條相異切線，表示\(y=a\)，和\(y=-2{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}-7\)恰有兩交點
\(\begin{align}
  & y'=-6{{t}^{2}}+18t=0 \\
& t=0\ or\ 3 \\
& a=-7\ or\ 20 \\
\end{align}\)

csihcs 發表於 2016-4-26 21:21

填充4
紅、藍、綠、白四種顏色塗在下面的四個格子中，一個格子塗一種顏色，而每個顏色可重複使用，但翻轉相同視為同一種塗法(即紅、藍、綠、白與白、綠、藍、紅視為同一種)。則總共有[u]　　　[/u]種不同的塗法。
☐☐☐☐
[解答]
任意填色：
４＊４＊４＊４＝２５６

１＆４同色and２＆３同色：
會有自身旋轉後為自己。
但是任意填色時，就不會排出２個。
如：ＡＢＢＡ、ＡＡＡＡ等。
因此，不需要除以２。
共計有（４＊１）＊（４＊１）＝１６

而其餘的部分：
ＡＢＣＤ和ＤＣＢＡ要視為１種。
ＡＢＣＡ和ＡＣＢＡ要視為１種。
ＡＢＢＣ和ＣＢＢＡ要視為１種。
因此，需要除以２。

故此，
（２５６－１６）／２＋１６＝１３６。

csihcs 發表於 2016-4-26 21:22

填充13
求區域\( S=\{\; (x,y)|\; 0\le a \le 1,0 \le b \le 1,x=a+b+1,y=2a-3b+1 \}\; \)所圍成的區域面積[u]　　[/u]

[attach]3308[/attach]

thepiano 發表於 2016-4-26 21:46

回復 10# byron0729 的帖子

填充第11題
\( \displaystyle f(x)=\int_2^x (t-7)(t+3)dt \)，求曲線\( y=f(x) \)的所有切線中，斜率最小的切線方程式[u]　　　[/u]
[解答]
\( f ' (x) = (x - 7)(x + 3) = (x - 2)^2 - 25 \)
\( x = 2 \)時，斜率最小是\( -25 \)
\( f(2) = 0 \)
所求為\( y = -25(x - 2) \)

cefepime 發表於 2016-4-27 00:23

[attach]3641[/attach]
填充 5
空間中三非零向量\( \vec{OA} \),\( \vec{OB} \),\( \vec{OC} \)，\( ∠AOB=30^{\circ} \)，\( ∠BOC=45^{\circ} \)，\( ∠COA=60^{\circ} \)，令\( \theta \)為平面\( AOB \)及平面\( BOC \)的法向量夾角，則\( |\; cos \theta |\;= \)[u]　　　[/u]
[解答]
[size=3]既然二面角的度量，是取與交線垂直的平面角，不妨直接令 AB⊥OB， CB⊥OB，所求即 |cos∠ABC|。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]令 AB = 1，則 OA = 2，OB = BC = √3，OC = √6 。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]由餘弦定理:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]△AOC 中，AC² = 10 - 2√6[/size]
[size=3][/size][size=3][/size]
[size=3]△ABC 中， |cos∠ABC| =  | (1 + 3 - AC²) / 2√3 | = | (2√6 - 6) / 2√3 | = [color=red]√3 - √2[/color] [/size]

mcgrady0628 發表於 2016-4-27 15:22

可以問第10題嗎？

謝謝

[[i] 本帖最後由 mcgrady0628 於 2016-4-27 04:53 PM 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2016-4-27 16:06

回復 16# mcgrady0628 的帖子

填充第10題
\( (x+\sqrt{3})^{21}+(1-x)^{32}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{32}x^{32} \)，若\( a_0 -a_2+a_4-a_6+\ldots+a_{32}=2^k \)，求\( k= \)[u]　　　[/u]
[解答]
\(f\left( x \right)={{\left( x+\sqrt{3} \right)}^{21}}+{{\left( 1-x \right)}^{32}}\)
所求為\(f\left( i \right)\)的實部
\(\begin{align}
  & f\left( i \right)={{\left( i+\sqrt{3} \right)}^{21}}+{{\left( 1-i \right)}^{32}} \\
& ={{\left[ {{\left( i+\sqrt{3} \right)}^{3}} \right]}^{7}}+{{\left[ {{\left( 1-i \right)}^{2}} \right]}^{16}} \\
& ={{\left( 8i \right)}^{7}}+{{\left( -2i \right)}^{16}} \\
& ={{2}^{16}}-{{8}^{7}}i \\
\end{align}\)

mcgrady0628 發表於 2016-4-27 16:10

回復 17# thepiano 的帖子

感謝鋼琴大大！

jackyxul4 發表於 2016-6-22 14:56

回復 13# csihcs 的帖子

挑個計算錯，應該是\(2x+y=5b+1 \)，不是\(5b+3\)。

但其實因為平移不影響面積，因此這一題一開始就直接看成\(a+b\)與\(2a-3b\)圍成的區域

用二階行列式可以求出來是\(a\)和\(b\)圍成區域的5倍。

anyway13 發表於 2016-10-15 19:06

請教填充第三題

\(z\)是一個複數，\( |\; z-i |\;=1 \)，\( i=\sqrt{-1} \)，則\( (3+4i)z \)實部的最大值為[u]　　　[/u]

想請問版上老師第三題  是令\( z=a+bi \)帶入\( |\; z-i |\;=1 \)得到第一式\( a^2+(b-1)^2=1 \)

接者帶入\( (3+4i)z \)中得到\( (3a-4b)+(4a+3b)i \)因為是要求實部的部分為最大

所以令\( k=3a-4b \)整理得\( \displaystyle a=\frac{k+4b}{3} \)然後帶入第一式   得\( 25b^2+24kb-18b+k^2=0 \)

利用\(b\)是實數  判別式\(\ge\)  最後得到\( \displaystyle k \le \frac{9}{17} \) or \( \displaystyle k \ge \frac{9}{7} \)   ......和公告得答案不同

可以請問一下哪裡做錯了嗎?   謝謝!

查看完整版本: 105台南女中