105中壢高中
177取1第二間有完整試題
可以好好訂正了(泣)
4/24更正官網答案
105.4.26補充
美夢成真教甄論壇的討論
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=6060[/url] 1.
若數列\( \{\;a_n \}\; \)滿足\( a_1=1 \)，\( \sqrt{a_n}=2 \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n a_{n+1}} \)，\( n \in N \)，求數列\( \{\;a_n \}\; \)的一般項\(a_n=\)[u] [/u]。
[提示]
同除\( \sqrt{a_n a_{n+1}} \)得\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}}=2\frac{1}{\sqrt{a_n}}+1 \)
2.
設[ ]表高斯符號，試解方程式\( 4x^2-20[x]+23=0 \)，\( x= \)[u] [/u]。
解\( 2x^2-11[x]+12=0 \)。(\([x]\)為小於等於\(x\)的最大整數)
(建中通訊解題第24期)
若\(x\)是實數，定義\([x]\)表示小於或等於\(x\)的最大整數，試求方程式\(2x^2-5[x]+1=0\)的解。
(建中通訊解題第52期)
[url]http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37[/url]
在這裡可以查到這類問題是怎麼算的
6.
設[ ]表高斯函數，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{10000}}{10^{100}+1} \Bigg]\;÷100 \)的餘數為[u] [/u]。
[提示]
[url]http://artofproblemsolving.com/community/c4h234350[/url]
7.
\( \displaystyle \lim_{m \to \infty} \left( \lim_{n \to \infty}\left( \frac{\root n \of {1+3^{2n}}+\root n \of {3^{2n}+5^{2n}}+\root n \of {5^{2n}+7^{2n}}+\ldots+\root n \of {(2m-1)^{2n}+(2m+1)^{2n}}}{m^3} \right) \right) \)
\( \displaystyle \lim_{m \to \infty} \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1+\root n \of {1^n+2^n}+\root n \of {2^n+3^n}+\ldots+\root n \of {(m-1)^n+m^n}}{m^2} \right) \)
(高中數學101 第97單元 數列之極限)
(100松山工農，[url]https://math.pro/db/thread-1137-1-1.html[/url])
回復 1# wrty2451 的帖子
想請問一下計算第二題，感謝~^^ 數學科答案有更正填充題第8題及計算題第2題
回復 3# wrty2451 的帖子
計算第2題設\(\displaystyle \omega=cos\frac{2\pi}{7}+isin\frac{2\pi}{7}\)，則\((2-\omega)(2-\omega^3)(2-\omega^5)\)之值為？
[提示]
應該是題目出錯了，後來更正的答案很醜
以\(\omega ,{{\omega }^{3}},{{\omega }^{5}}\)為三根的方程式為\(\left( x-\omega \right)\left( x-{{\omega }^{3}} \right)\left( x-{{\omega }^{5}} \right)=0\)
利用根與係數，最後 代2進去就能求出答案 請問老師，一、５該怎麼做？
回復 6# martinofncku 的帖子
第5題雙曲線\(\Gamma\)：\(xy=1\)在第一象限中，一弦\(\overline{AB}\)以\(D(4,1)\)為中點，\(C\)點在\(\Gamma\)部分曲線\(AB\)上(即直線\(AB\)下方第一象限中的\(\Gamma\)曲線)，求\(C\)點到弦\(\overline{AB}\)距離的最大值為[u] [/u]。
[解答]
A和B是曲線\(\displaystyle y=\frac{1}{x}\)和直線\(y=m(x-4)+1\)的兩個交點
利用\(\displaystyle \frac{1}{x}=m(x-4)+1\)的兩根和\(=4\times 2=8\)，可求出\(\displaystyle m=-\frac{1}{4}\)
令\(\displaystyle C\left( t,\frac{1}{t} \right)\)，剩下的就是點到直線的距離，用算幾求最大值
回復 7# thepiano 的帖子
補充，求出AB直線方程式之後，可以直接找斜率相同與直線AB的切線，切點就是C 請教老師，第2、8、10題可以提示一下嗎？第2題感覺是要用橢圓可是不會算~
第8題 -2<x-[(x+1)/2]<2 知道(x-1)/2<[(x+1)/2]<=(x+1)/2，但接下來要怎求解呢?
第10題 畫完圖不會算@@
謝謝大家 [quote]原帖由 [i]litlesweetx[/i] 於 2016-4-25 10:27 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=15124&ptid=2486][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教老師，第2、8、10題可以提示一下嗎？
第2題感覺是要用橢圓可是不會算~
第8題 -2 [/quote]
用橢圓算的應該是第三題吧
3.
若\(\sqrt{x^2+(mx-3m+2)^2}+\sqrt{x^2+(mx-3m+10)^2}=10\)有兩相異實根，求\(m\)之範圍為[u] [/u]。
[提示]
先做直線y=mx-3x上一點，到兩焦點距離和為10。
有兩個解，所以要選能與橢圓有兩交點的範圍
8.
設\([\; ]\;\)表高斯符號，\(|\;x|\;\)表絕對值符號，求不等式\(\displaystyle log_2 \Bigg\{\;log_2 \Bigg(\;\Bigg\vert\; x- \Bigg[\; \frac{x+1}{2}\Bigg]\; \Bigg\vert\; \Bigg)\; \Bigg\}\;<0\)的解為[u] [/u]。
[提示]
x+1<[(x+1)/2]<x+2 和x-2<[(x+1)/2]<x-1 為階梯函數在兩組直線之中的部分
10.
設複數\(w,z\)滿足\(|\;w|\;=1\)，\(|\;z|\;=10\)，設\(\displaystyle \theta=arg(\frac{w-z}{z})\)，求\(tan^2 \theta\)的最大值為[u] [/u]。
[提示]
有最大的tan^2 theta，發生在w 和w-z垂直的時候 第10題
設複數\(w,z\)滿足\(|\;w|\;=1\)，\(|\;z|\;=10\)，設\(\displaystyle \theta=arg(\frac{w-z}{z})\)，求\(tan^2 \theta\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
\(\begin{align}
& \frac{1}{\sin \left( \pi -\theta \right)}=\frac{10}{\sin \alpha } \\
& \sin \theta =\frac{\sin \alpha }{10} \\
& {{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{100}\le \frac{1}{100} \\
& {{\tan }^{2}}\theta =\frac{{{\sin }^{2}}\theta }{{{\cos }^{2}}\theta }=\frac{{{\sin }^{2}}\theta }{1-{{\sin }^{2}}\theta }=\frac{1}{1-{{\sin }^{2}}\theta }-1\le \frac{1}{1-\frac{1}{100}}-1=\frac{1}{99} \\
\end{align}\)
回復 9# litlesweetx 的帖子
第 3 題若\(\sqrt{x^2+(mx-3m+2)^2}+\sqrt{x^2+(mx-3m+10)^2}=10\)有兩相異實根，求\(m\)之範圍為[u] [/u]。
[解答]
直線 y = mx - 3m 必過 (3，0)，把它和橢圓 \(\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{\left( y+6 \right)}^{2}}}{25}=1\) 都畫出來
易知 m 超過某個值後，會與橢圓有 2 個交點
變形一下
令 \(x=\frac{3}{5}u,y=v\)
橢圓轉為圓 \({{u}^{2}}+{{\left( v+6 \right)}^{2}}={{5}^{2}}\)，直線轉為 \(\frac{3}{5}mu-v-3m=0\)
利用 \(\frac{\left| 6-3m \right|}{\sqrt{{{\left( \frac{3}{5}m \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=5\)，可求出\(m=\frac{11}{36}\)
所求為\(m>\frac{11}{36}\)
計算1
想問一下除了設設f(x)=ax^3+bx^2+cx+d 下去計算之外 請問有其他想法可以算嗎？謝謝
回復 13# Sandy 的帖子
兩邊微分請教第七題，第六題
填充第七題\( \displaystyle \lim_{m \to \infty} \left( \lim_{n \to \infty}\left( \frac{\root n \of {1+3^{2n}}+\root n \of {3^{2n}+5^{2n}}+\root n \of {5^{2n}+7^{2n}}+\ldots+\root n \of {(2m-1)^{2n}+(2m+1)^{2n}}}{m^3} \right) \right) \)
我參考101做法後自己算，但是答案會是0
[attach]3488[/attach]
不知道盲點在哪邊？
還有填充第六題程度真的太差，可以再多給小弟一點提示嗎~
感激不盡~~~ ><
回復 15# kggj5220 的帖子
第六題設[ ]表高斯函數，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{10000}}{10^{100}+1} \Bigg]\;÷100 \)的餘數為[u] [/u]。
第七題的盲點在於極限為不定型需再進一步化簡
舉例：lim (1^2+2^2+...+n^2)/n^3.(n→∞)可以說它是0嗎？
回復 16# eyeready 的帖子
感謝eyeready大提點第七題：極限值已經用羅必達做出
第六題：雖然是常見的招數，但該用的時候就是沒想到他.....
感謝~ 請教第三題有其他的方式解題嘛？若沒有可以附上上述的詳解嗎？感恩您
回復 18# luckyhappy 的帖子
3.若\(\sqrt{x^2+(mx-3m+2)^2}+\sqrt{x^2+(mx-3m+10)^2}=10\)有兩相異實根，求\(m\)之範圍為[u] [/u]。
[解答]
小弟是用幾何來解找切線求斜率，和前面討論大同小異，如有其他想法希望版友能提供参考 感謝您的幫忙，那除了假設直線再帶入橢圓中找出切線方程式外，有沒有公式可以直接找出來切線方程式呢？？
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