\( \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{m^2 n+n^2 m+2mn}= \)？ [/quote]
這題不就是有名考古題?
印象中答案:7/4
算出來要花一些時間...
回復 11# cefepime 的帖子
這簡直神技啊！ 填充8設\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,a,b,c,d \in R\)且\(f(3+4i)=75i-100\)，\(f(7-24i)=7+24i\)，請問\(d=\)
[解答]
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提供一個今天朋友想到的方法
跟考古題一樣的技巧 (PS 如果用 xf(x) 解法會漂亮一點)
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108[/url]
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回復 19# thepiano 的帖子
計算證明題6.設\(\Delta ABC\)的邊長均為正整數，且全等的三角形視為同一種，則：
(A)周長為2013
(B)周長為2016
\(A\)和\(B\)情況哪一個的三角形比較多種，為什麼？
[解答]
但是這題只問兩者的大小，所以建立一一對應關係：
(a,b,c)→(a+1,b+1,c+1)
稍微判斷一下三角形兩邊和大於第三邊條件，可知邊長2013的三角形會和2016的三角形一樣多
ps:如果改成2016、2019就不一樣多了(2019比較多)
回復 1# EZWrookie 的帖子
計算證明題1.設\(ABCD\)為一凸四邊形，證明\(\overline{AB}\times \overline{CD}+\overline{AD}\times \overline{BC}\ge \overline{AC}\times \overline{BD}\)，並說明等號成立的條件。
[解答]
最近在書上看到一個蠻簡單漂亮的證明。
以A為反演中心，任取半徑r>0的反演圓。將B、C、D作反演得到B'、C'、D'
則B'C'=(BC*r*r)/(AB*AC)、B'D'=(BD*r*r)/(AB*AD)、C'D'=(CD*r*r)/(AC*AD)
由三角不等式B'C'+C'D'>=B'D'
化簡即得到AB*CD+AD*BC>=AC*BD
等號成立條件為B'、C'、D'共線，即ABCD共圓 計算證明題4.
設\(\Gamma\)為一拋物線，\(P\)為\(\Gamma\)外一點，\(F\)為焦點。自\(P\)作\(\Gamma\)的切線，令其切點為\(A,B\)，證明\(\angle AFP=\angle BFP\)。
[解答]
做出準線
分別過A、B做準線的垂線，交點分別為C、D
拋物線定義AF=AC
光學性質得到AP為角FAC的平分線
故AP為FC的中垂線
PF=PC
同理PF=PD
故PC=PD
角AFP=角ACP=角ADP=角BFP
回復 9# thepiano 的帖子
請益老師最後一個5/6(E+1)要怎麼解釋???一直想不通 謝謝
回復 27# leo790124 的帖子
先丟出1個點數後，接下來有5/6的機率丟出跟此點數不同的點數，視為重新丟出1個點數，但期望值多1求解
請教填充1,4跟計算2,5回復 29# son249 的帖子
填充第1題設\(2\le n \le 1999\)，試問有多少個正整數\(n\)，使得存在大於1的正整數\(a,b\)且滿足\(log_a n=b\)？
[解答]
a^b = n，a>1，b>1，2 ≦ n ≦ 1999
(1) b = 2，a = 2 ~ 44，計 43 個
(2) b = 4、6、8、10，a^b = n 都是平方數，與 (1) 同，不計
(3) b = 3，a = 2 ~ 12，扣掉 4^3 = 8^2 和 9^3 = 27^2，計 9 個
(4) b = 5，a = 2 ~ 4，扣掉 4^5 = 32^2，計 2 個
(5) b = 7，a = 2，計 1 個
(6) b = 9，a = 2，2^9 = 8^3，不計
所求為 43 + 9 + 2 + 1 = 55 個
填充第4題
設\(x,y,z\)為正整數，且\(xyz=2^{12}\cdot 3^2\)，求\(x+y+z\)可以被4整除的機率。
[解答]
\(xyz={{2}^{12}}\times {{3}^{2}}\)
數對(x，y，z)有\(H_{12}^{3}\times H_{2}^{3}\)組
x+y+z是4的倍數，有以下三種情形
(1)三者都是4的倍數：有\(H_{6}^{3}\times H_{2}^{3}\)種情形
(2)只有1個是4 的倍數，另2個只是2的倍數而非4的倍數：有\(C_{2}^{3}\times H_{2}^{3}\)種情形
(3) 1個是\({{2}^{12}}\times 3\)，另2個是1和3：有3!種情形
所求\(\begin{align}
& =\frac{H_{6}^{3}\times H_{2}^{3}+C_{2}^{3}\times H_{2}^{3}+3!}{H_{12}^{3}\times H_{2}^{3}} \\
& =\frac{32}{91} \\
\end{align}\) 計算5
設\(f(x)=x^3-3x^2+3ax-3a+3,a\in R\)，試就\(a\)的範圍討論\(|\;f(x)|\;\)在\(x\in [0,2]\)的最大值。
[解答]
應該能更簡化一些
回復 29# son249 的帖子
計算證明題2.已知\(\Delta ABC\)的\(\angle A=\theta\)和內切圓半徑\(r\)為定值，請問在此條件下，\(\Delta ABC\)的周長最小為何？
[解答]
周長為\(\displaystyle 2r\left( \cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2} \right)\)
只要考慮\(\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}\)何時有最小值
令\(\frac{B}{2}=x+y,\frac{C}{2}=x-y\)
\(x=\frac{B+C}{4},y=\frac{B-C}{4}\)
\(\begin{align}
& \cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2} \\
& =\cot \left( x+y \right)+\cot \left( x-y \right) \\
& =\frac{1-\tan x\tan y}{\tan x+\tan y}+\frac{1+\tan x\tan y}{\tan x-\tan y} \\
& =\frac{2\tan x\left( 1+{{\tan }^{2}}y \right)}{{{\tan }^{2}}x-{{\tan }^{2}}y} \\
\end{align}\)
由於\(\tan x\)是定值，故\(\tan y=0\)，即\(B=C\)時，\(\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}\)有最小值
請教一下第七題
請問一下版上老師,第七題的黎曼和到底要怎麼算阿這種題目....真的不會. 謝謝!
回復 33# anyway13 的帖子
7.\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\sqrt{\frac{4n^2-1^2}{36n^4}}+\sqrt{\frac{4n^2-2^2}{36n^4}}+\ldots+\sqrt{\frac{4n^2-n^2}{36n^4}})=\)？
[解答]
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\left( {\sqrt {\frac{1}{9} - (\frac{1}{{6n}})^2 } + \sqrt {\frac{1}{9} - (\frac{2}{{6n}})^2 } + ... + \sqrt {\frac{1}{9} - (\frac{n}{{6n}})^2 } } \right) \\
= \int_0^1 {\sqrt {\frac{1}{9} - (\frac{x}{6})^2 } dx} = \frac{1}{6}\int_0^1 {\sqrt {4 - x^2 } } dx = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{\sqrt 3 }}{{12}} \\
\end{array}
\)
[img]https://upload.cc/i/T8IqWb.png[/img]
回復 34# eyeready 的帖子
謝謝eyeready 老師, 清楚了解回復 34# eyeready 的帖子
eyeready老師 一直到到數第三步都了解可是答案只有跟你算的一半才一樣,是不是圖形只有上半部?
謝謝你
回復 36# anyway13 的帖子
是的XD ，在外面晚點再修正回復 37# eyeready 的帖子
謝謝eyeready老師! 3.空間中有四點\(A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),D(0,0,0)\)，設點\(E\)所在的平面到\(A,B,C,D\)四點的距離均為\(d\)，請寫出\(d\)的所有可能值。
[解答]
好像沒有討論
拋磚引玉一下
小弟算出來7個可能值
1，1/2，3/2，3/7，1/sqrt(5) ，3/2sqrt(10) ，3/sqrt(13)
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