105武陵高中
拋磚引玉~打出我還記的的題目...想問填充題擲骰子連續出現三次的期望值該怎麼算??
填充題: (未照題號順序)
1.擲公正骰子，連續出現三次相同數字才停止，求擲骰子次數的期望值。
計算證明題(未照題號順序)
1.證明任意凸四邊形ABCD 皆有AB*CD+AD*BC>=AC*BD，並說明等號成立的條件。
2.敘述並證明一次因式檢驗法
3.設三個矩陣A B C，證明(AB)C=A(BC)
105.4.19補充
以下資料供以後的考生參考：
初試最低錄取分數 25分
32,30,30,27,25,25,25,25
其他
20~24分 8人
10~19分 49人
1~ 9分 55人
0分 27人
缺考 0人
共計 147 人
105.4.20補充
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回復 1# EZWrookie 的帖子
5.投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止，求投擲次數的期望值。
[解答]
\(E\left( X \right)={{\left( \frac{1}{6} \right)}^{3}}\times 3+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+3 \right]+\left( \frac{1}{6} \right)\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+2 \right]+\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+1 \right]\) 二樓 thepiano 老師提示的解，是否應是指:
擲公正骰子，連續出現三次 " 1 點" 才停止，求擲骰子次數的期望值。
與原題意有所不同。
回復 1# EZWrookie 的帖子
95年台大數學申請入學考題h ttp://www.math.ntu.edu.tw/download.php?filename=203_41a7c8e6.pdf&dir=archive&title=%E7%94%84%E9%81%B8%E5%85%A5%E5%AD%B895 網頁已失效
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(1)若兩人猜拳，平均需要_______次能分出勝負
(2)若三人猜拳，兩人勝一人，則勝者兩人繼續猜拳直到分出勝負。若一人勝兩人，則此人勝出，因此平均需要_____次三人可分出勝負
---------------------------------------------------------------------------
(1) 兩人猜拳有2/3機率一把分出勝負
E=(2/3)*1 + (1/3)*(E+1)
故 E=3/2
(2)三人猜拳 有1/3機率1人勝出 1/3機率2人暫時獲勝 1/3機率平手
E=(1/3)*1 + (1/3)*(1+3/2)+(1/3)*(1+E)
E=9/4
回復 4# sliver 的帖子
我先計算了 「重複擲一公正骰子，直到連續出現兩次相同點數才停止，則投擲數的期望值為 7次」該如何推廣到 直到連續出現""三次""相同點數才停止的期望值呢?
麻煩sliver老師了!!! 謝謝你。
回復 5# EZWrookie 的帖子
假設題目是 連續擲了兩次一樣的點數即停止令K=擲出一個點數(目前連1的狀況) 仍需多少次能達成任務的次數期望值
K=(1/6)*1 + (5/6)*(K+1)
=> K=6
=> E=K+1=7
----------------------------------------------------------
假設題目是 連續擲了3次一樣的點數即停止
------------------------------------------------------------
令K=擲出一個點數(目前連1) 仍需多少次能達成任務的次數期望值
K=(1/36)*2 + (5/6)*(K+1) + (1/6)*(5/6)*(K+2)
=> K=42
=> E=K+1=43
回復 3# cefepime 的帖子
原來題意沒有指定特定的點數，所以小弟的答案應該要再除以6才是正解43回復 6# sliver 的帖子
謝謝sliver 老師分享! 簡單明瞭~回復 3# cefepime 的帖子
5.投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止，求投擲次數的期望值。
[解答]
小弟修正一下自己的算式
\(\begin{align}
& E\left( X \right)={{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}\times 3+\left( \frac{1}{6} \right)\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+2 \right]+\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+1 \right] \\
& E\left( X \right)=43 \\
\end{align}\) 謝謝sliver大學長無私分享 5.
投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止，求投擲次數的期望值。
[解答]
[size=3]我在想，解這個題目應該也可以套用"幾何分配"的性質:[/size]
[size=3]重複進行一成功機率為 p (>0) 之試驗 (每次試驗為獨立事件)，直至第一次試驗成功為止，則試驗次數之期望值 = 1/p。[/size]
[size=3]現考慮: [/size][size=3]擲一公正骰子，連續出現 n (>1) 次相同數字才停止，求擲骰子次數的期望值。[/size]
[size=3]思考: 由於 "連續出現 n 次相同數字" 是基於先 "連續出現 n-1 次相同數字"，繼之成功機率為 1/6。套用上述"幾何分配"的性質，有:[/size]
[size=3]E[size=2](n)[/size] = 6*E[size=2](n-1)[/size] + 1，在此 E[size=2](k)[/size] 是指連續出現 k 次相同數字才停止之投擲次數期望值。[/size]
[size=3]由 E[size=2](1) [/size]= 1，得 E[size=2](2) [/size]= 7，E[size=2](3) [/size]= 43，E[size=2](4) [/size]= 259，...。[/size]
[size=3]一般式為 E[size=2](n)[/size] = (6ⁿ -1) / 5。[/size]
回復 11# cefepime 的帖子
cefepime 兄，這種期望值結合遞迴的妙解令人大開眼界啊回復 1# EZWrookie 的帖子
補充兩題填充題第二題
題目是 有n天要頒獎m的禮物，第一天先發1個，再發m-1的1/7出去，剩下的第二天發出，第二天再發出2個，和剩下的1/7，按照這樣的發法，在第n天時發出n個就剛好發完
請問(n,m)=?
計算題的某一題
請比較(1)和(2)的大小
(1) 邊長是正整數解，周長為2013的三角形 ，有多少個？
(2) 邊長是正整數解，周長為2016的三角形，有多少個？
若有錯誤 請老師補充指教 2.
因應武陵高中校慶，校方準備了\(m\)個禮物要在\(n\)天發完，發法如下；第一天先發一個，再從剩餘的\(m-1\)個禮物選\(\displaystyle \frac{1}{7}\)送出去；第二天先送出兩個，再從剩餘的禮物中挑\(\displaystyle \frac{1}{7}\)發出去。按照此發法，在第\(n\)天的時候發出\(n\)個剛好全部發完，請問數對\((m,n)=\)？
[解答]
設第\(k\)天頒完後，剩\({{a}_{k}}\)個禮物
\(\begin{align}
& {{a}_{0}}=m,{{a}_{n}}=0 \\
& {{a}_{k}}=\frac{6}{7}\left( {{a}_{k-1}}-k \right) \\
& {{a}_{k-1}}=\frac{7}{6}{{a}_{k}}+k \\
& m={{a}_{0}}=1+2\times \frac{7}{6}+3\times {{\left( \frac{7}{6} \right)}^{2}}+\cdots \cdots +n{{\left( \frac{7}{6} \right)}^{n-1}}=\left( n-6 \right)\times \frac{{{7}^{n}}}{{{6}^{n-1}}}+36 \\
& \left( {{7}^{n}},{{6}^{n-1}} \right)=1,n-6<{{6}^{n-1}},m\in N \\
& n=6,m=36 \\
\end{align}\)
回復 1# EZWrookie 的帖子
【還有一題】已知擲一枚硬幣出現正面的機率是p，出現反面的機率是1-p，今我們連續擲一枚硬幣10次，設這10次中出現k次正面的機率為p_k，且已知p_4=4*p_6，求p_1+3*p_2+5*p_3+...+19*p_10
(可用指數表示答案) 2<=n<=1999, a,n 是正整數, b=log_a(n) 是整數的（a,b)有幾組解？
f(x)=x^3-3x^2+3ax-3a+3 的定義域為{x|0<=x<=2}, 試就a值討論 |f(x)|的最大值
拋物線外一點P到拋物線的切點分別為A,B，焦點為F,證明角PFA=角PFB
回復 16# czk0622 的帖子
記得填充這題是這樣n 是正整數, 2<=n<=1999, 有多少個n
可以找到大於1的正整數a,b, 滿足b=log_a(n)
問的是n有幾組 不是問(a,b)有幾組
回復 17# sliver 的帖子
感謝學長修正 [quote]原帖由 [i]agan325[/i] 於 2016-4-18 10:34 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=14996&ptid=2475][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]計算題的某一題
請比較(1)和(2)的大小
(1) 邊長是正整數解，周長為2013的三角形 ，有多少個？
(2) 邊長是正整數解，周長為2016的三角形，有多少個？
[/quote]
這是整數分拆的難題，兩者答案都是84672個 \( \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{m^2 n+n^2 m+2mn}= \)？
英文書名為Problem-Solving Through Problems
簡體書名為美國大學生數學競賽例題選講
繁體書名為通過問題學解題
頁:
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