Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 104高中數學能力競賽

peter0210 發表於 2016-6-14 22:34

104台南區高中數理競賽

想請教試題1 第2題

設數列\( \{\; a_n \}\; \)的前\(n\)項和為\(S_n\)，已知\(a_1=1\)且\((5n-8)S_{n+1}-(5n+2)S_n=-20n-8\)，試求\( \displaystyle \sum_{k=101}^{150}\frac{1}{a_ka_{k+1}} \)之值。

我知道它是公差5的等差數列，但要怎麼從正面推導出(小弟是用猜的，再帶回檢驗)

peter0210 發表於 2016-6-14 22:45

小弟還想請問試題2第三題
若\(a,b\)是方程式\(x^4-3x^3+x^2-2x+4=0\)的兩個根，則\(ab\)會是方程式\(x^6-x^5+c_1 x^4+c_2 x^3+c_3 x^2+c_4 x+c_5=0\)的一個根。試求\(c_1+c_2+c_3+c_4+c_5\)之值。

小弟做到一半已做不下去，爆開太恐怖了

試題2第4題
已知\(O(0,0)\)和\(A(1,0)\)為直角坐標平面上的兩點，有一點\(B\)落在以\( \overline{OA} \)為直徑的圓上且點\(B\)位於第一象限，試求\( \Delta OAB \)的內切圓圓心的軌跡方程式。

不知道要在怎麼整理了
用GSP畫的圖很像鬼神童子的寄生果XD

thepiano 發表於 2016-6-14 23:19

回復 1# peter0210 的帖子

\(\begin{align}
  & \left( 5n-8 \right){{S}_{n+1}}-\left( 5n+2 \right){{S}_{n}}=-20n-8\cdots \left( 1 \right) \\
& \left( 5n-3 \right){{S}_{n+2}}-\left( 5n+7 \right){{S}_{n+1}}=-20n-28\cdots \left( 2 \right) \\
& \left( 2 \right)-\left( 1 \right) \\
& \left( 5n-3 \right){{a}_{n+2}}+5{{S}_{n+1}}-\left( 5n+7 \right){{a}_{n+1}}-5{{S}_{n}}=-20 \\
& \left( 5n-3 \right){{a}_{n+2}}-\left( 5n+2 \right){{a}_{n+1}}=-20\cdots \left( 3 \right) \\
& \left( 5n-8 \right){{a}_{n+1}}-\left( 5n-3 \right){{a}_{n}}=-20\cdots \left( 4 \right) \\
& \left( 3 \right)-\left( 4 \right) \\
& \left( 5n-3 \right){{a}_{n+2}}-2\left( 5n-3 \right){{a}_{n+1}}+\left( 5n-3 \right){{a}_{n}}=0 \\
& {{a}_{n+2}}+{{a}_{n}}=2{{a}_{n+1}} \\
\end{align}\)

thepiano 發表於 2016-6-14 23:59

試題 2 第 3 題
設另二根為\(c,d\)，且\(a+b=m,ab=n\)
\( \cases{a+b+c+d=3 \cr ab+(a+b)(c+d)+cd=1 \cr ab(c+d)+cd(a+b)=2 \cr abcd=4} \)
\( \cases{\displaystyle n+m(3-m)+\frac{4}{n}=1 \ldots (1) \cr n(3-m)+\frac{4m}{n}=2\ldots \ldots(2)} \)
由(2),\( \displaystyle m=\frac{2n-3n^2}{4-n^2} \)代入(1)化簡後可得
\(n^6-n^5+2n^4-32n^3+8n^2-16n+64=0\)

thepiano 發表於 2016-6-15 11:50

回復 2# peter0210 的帖子

試題 2 第 4 題
設內切圓圓心
作CD垂直OA於D，CE垂直 OB 於 E，CF垂直 AB 於 F
OD=OE=x，BE=BF=y，AF=AD=1-x
\(\begin{align}
  & {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( 1-x+y \right)}^{2}}=1 \\
& {{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\quad ,0<x<1,0<y\le \frac{\sqrt{2}-1}{2} \\
\end{align}\)

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2016-6-16 03:07 PM 編輯 [/i]]

Exponential 發表於 2019-7-25 21:31

e的證明

設有一數列\(\displaystyle x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)，\(n \in N\)，試證\(2 \le x_n <x_{n+1}<3\) for all \(n \in N\)。
請教各位高手，這題如何用數學歸納法證？

Ellipse 發表於 2019-7-29 11:34

[quote]原帖由 [i]Exponential[/i] 於 2019-7-25 21:31 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=20387&ptid=2466][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教各位高手，這題如何用數學歸納法證？ [/quote]
\(2<x_n<3\) ,可用二項式定理,再配合縮放證
\(x_n< x_{n+1}\) ,用算幾不等式證

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