Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 104高中數學能力競賽

yadisbeles 發表於 2016-3-31 15:23

104高中數學能力競賽

h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/workshop/104hsm/index.php?menu=exam　(連結已失效)
這邊有104學年度的各區考題
但中投區筆試二點進去是error404，請問有人有這份題目嗎?謝謝!


106.9.17補充
設\(a,b\)為整數，如果多項式\(x^2-x-1\)為\(ax^{17}+bx^{16}+1\)的因式，試求\(a\)之值。
(第六區(台南區)筆試2試題)
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=1#pid3758[/url]
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349[/url]

108.5.18補充
證明\(1<\sqrt{2+\root 3 \of{3+\root 4 \of{4+\ldots+\root 1120 \of{1120}}}}<2\)
104高中數學能力競賽　南區(高雄區)筆試一試題

109.6.25補充
設\(a\)、\(b\)為正整數，若\(a^{20}\)為31位數，\(\displaystyle \left(\frac{1}{b}\right)^{20}\)自小數點以下25位才不為0，則\((ab)^5\)是[u]　　　[/u]位數。
(104高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html[/url])

將10個相同的小球裝入3個編號為1、2、3的盒子(每次要把10個球裝完)，要求每個盒子裡球的個數不少於盒子的編號數，這樣的裝法種數共有[u]　　　[/u]種。
(104高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html[/url])

thepiano 發表於 2016-3-31 15:28

回復 1# yadisbeles 的帖子

h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/workshop/104hsm/exam/104複賽-中投筆試(二).pdf　(連結已失效)

王重鈞 發表於 2016-3-31 23:43

回覆鋼琴老師

不好意思。冒昧請教鋼琴老師，您有１０４學科數學競賽的解答嗎？

thepiano 發表於 2016-4-1 07:40

回復 3# 王重鈞 的帖子

應該主辦單位才會有

leo790124 發表於 2016-4-2 23:43

北二區筆試二一題

圖中，\(\Delta OPQ\)與\(\Delta QRS\)均為等腰直角三角形，其中\(\angle P\)與\(\angle R\)為直角，\(Q\)不在\(\overline{OS}\)上。已知\(M\)為\(\overline{OS}\)的中點且\(\overline{PR}=1\)，則\(\Delta PRM\)的周長為[u]　　　[/u]。

想請問北二區筆試二的最後一題這題
關鍵應該在角PMR為90度
請問該如何判斷出來呢
請各高手幫忙><

tsusy 發表於 2016-4-3 09:52

回復 5# leo790124 的帖子

直接坐標暴？P(0,0), R(1,0), Q(a,b)

轉出 O, S，坐標平均得 \( M(\frac12, -\frac12) \)

thepiano 發表於 2016-4-3 11:10

\(\begin{align}
  & \overline{OA}=\overline{PB}=a,\overline{SC}=\overline{RB}=1-a,\overline{PA}=\overline{QB}=\overline{RC}=b \\
& \overline{MN}=\frac{\overline{OA}+\overline{SC}}{2}=\frac{1}{2} \\
& \overline{BN}=c \\
& b+a+c=\left( 1-a \right)-c+b \\
& \overline{PN}=a+c=\frac{1}{2} \\
& \overline{PR}+\overline{PM}+\overline{RM}=1+\sqrt{2} \\
\end{align}\)

thepiano 發表於 2016-4-3 15:26

回復 5# leo790124 的帖子

剛看到某位老師的妙解
取 OQ 中點 N，SQ 中點 K
證明 △PMN 和 △MRK 全等 (SAS)
進而證明 △PMR 是等腰直角三角形

leo790124 發表於 2016-4-4 10:21

回復 8# thepiano 的帖子

好巧妙的輔助線
但是兩塊全等只能推出PM=MR
那直角的部分該如何看呢??

thepiano 發表於 2016-4-4 20:22

MKQN 是平行四邊形
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180 度

在 △PMN 中
∠2 + ∠3 + ∠4  = 90 度

故 ∠1  = 90 度

milkie1013 發表於 2016-4-23 09:25

請教104年高中數學學科能力測驗三題

104嘉義區複賽試題(一)
一、\(\Delta ABC\)的\(∠ACB\)的分角線交\(\overline{AB}\)於\(P,A_1,B_1\)分別為\(A,B\)對分角線\(\overline{CL}\)的對稱點，\(A_2,B_2\)分別為\(A,B\)對點\(P\)的對稱點，\(O_1,O_2\)分別為\(\Delta AB_1B_2,\Delta BA_1A_2\)的外心，證明\(∠O_1CA=∠O_2CB\)。

二、已知\(a,b,c\)都是正實數且\(a+b+c=3\)，證明\( \displaystyle \frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le \frac{3}{4} \)。

三、
(a)若\(x,y,s\)為實數，求證\([sx+(1-s)y]^2=sx^2+(1-s)y^2-s(1-s)(x-y)^2\)。
(b)若\( f:R \rightarrow R \)為一函數且對所有實數\(x,y\)，不等式\( |\; f(x)-f(y) |\; \le |\;x-y |\; \)均成立。已知實數\(u,v\)滿足\(f(u)=u,f(v)=v\)，求證對所有\(0\le t \le 1\)，\(f(tu+(1-t)v)=tu+(1-t)v\)。


麻煩大家給我一些提示，謝謝！

yadisbeles 發表於 2016-4-23 21:38

第二題用切線法(有點暴力)的證明

Ellipse 發表於 2016-4-24 23:49

上面過程可能有問題喔~
取a=0.5   b=1   c=1.5
代入您改的那個值總和會超過0.75

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2016-4-24 11:54 PM 編輯 [/i]]

yadisbeles 發表於 2016-4-25 09:48

我發現了@@反號了 我再想想

yadisbeles 發表於 2016-4-25 11:04

後來發現這是2009伊朗選訓營的題目(教授真狠@@)
[url]http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h275815p1492633[/url]
下面colorfuldreams的解比較簡潔

catlee 發表於 2016-4-25 11:58

不知道可不可以？

請參考

yadisbeles 發表於 2016-4-25 12:34

因為題目的條件我們知道PA=PA1=PA2，於是P落在A1A2的中垂線上，同理P在B1B2的中垂線上，故O1、P、O2三點共線。
另外，注意到A1A和B1B都與CP垂直，因此A1A//B1B。又CA1=CA，CB1=CB，得A1B=B1A，故AB1BA1是等腰梯形，可作外接圓(如圖，圓心O)
此時，直線CB1A是上面兩圓的根軸，直線CA1B是下面兩圓的根軸，因此C是三圓的根心。
由於CA1是根軸，O1O是連心線，故CA1是O1O的垂線，同理CA是O2O的垂線，故C是三角形OO1O2的垂心，於是OC也垂直O1O2，又C是根心，故OC是圓O1和O2的根軸，
PO1=PO2，於是CO1O2是等腰三角形，故角O2CP=角O1CP，又CP是分角線，證畢。

yadisbeles 發表於 2016-4-26 08:31

回復 8# catlee 的帖子

最後一行是不是反號了?
如果我取1/x+1/y+1/z=1，不等式仍成立

laylay 發表於 2016-5-11 05:43

回復 4# yadisbeles 的帖子

請注意到  f(0)=13/8-2<0,故 f(x)無法在(0,3)恆正

yadisbeles 發表於 2016-5-31 13:15

後來發現之前的解太複雜了，這個解法比較好

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