二次多項式f,g領導係數皆1，知f^2÷g及g^2÷f的餘式，求f+g
題目：已知 \(f(x), g(x)\) 皆為二次式，且首項係數皆為 \(1\)，
\(\left(f(x)\right)^2\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(4x-4\)，
\(\left(g(x)\right)^2\) 除以 \(f(x)\) 的餘式為 \(-4x-4\)，
求 \(f\left(x\right)+g\left(x\right)=\)？
解答：
令 \(f(x)=g(x)+mx+n=x^2+ax+b\Rightarrow g(x)=x^2+\left(a-m\right)x+\left(b-n\right)\)
則 \(\left(f(x)\right)^2=\left(g(x)\right)^2+2g(x)\left(mx+n\right)+\left(mx+n\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(f(x)\right)^2=\left(g(x)\right)^2+2g(x)\left(mx+n\right)+m^2x^2+2mnx+n^2\)
依題意，可得 \(4x-4=m^2\left(\left(m-a\right)x+\left(n-b\right)\right)+2mnx+n^2\)
\(\Rightarrow 4x-4=\left(m^3-am^2+2mn\right)x+\left(m^2n-bm^2+n^2\right)\)
另一方面， \(\left(g(x)\right)^2=\left(f(x)\right)^2-2f(x)\left(mx+n\right)+\left(mx+n\right)^2\)
\(\Rightarrow \left(g(x)\right)^2=\left(f(x)\right)^2-2f(x)\left(mx+n\right)+m^2+2mnx+n^2\)
依題意，可得 \(-4x-4=m^2\left(-ax-b\right)+2mnx+n^2\)
\(-4x-4=\left(2mn-am^2\right)x+\left(n^2-bm^2\right)\)
因此，
\(m^3-am^2+2mn=4\) ……(1)
\(m^2n-bm^2+n^2=-4\) ……(2)
\(2mn-am^2=-4\) ……(3)
\(n^2-bm^2=-4\) ……(4)
由 (1)~(4)，可解得 \(m=2, n=0, a=1, b=1\)
因此，\(f(x)=x^2+x+1, g(x)=x^2-x+1\Rightarrow f(x)+g(x)=2x+2\) 。 [size=3](嘗試減少參數)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]無論是想利用 "首項係數相等" 或 "餘式代換法"，大致會聯想到 [size=4]f[/size][size=3](x)[/size][size=4] - g[/size][size=3](x)。[/size][size=4] [/size][/size]
[size=3]由題意:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=4][f[size=3](x)[/size] - g[size=3](x)[/size]] ² = [color=red]c*f[size=3](x)[/size] - 4x - 4[/color] =[/size] [color=blue][size=4]c*g[/size][size=3](x)[/size][/color][size=4][color=blue] + 4x - 4[/color] [size=3]([/size]c [/size][/size][size=3]是常數) [/size]
[size=3][/size][size=3][/size]
[size=3]比較紅藍式的常數項，知 [size=4]f[/size][size=3](x)[/size][size=4] [size=3]與[/size] g[/size][size=3](x) 的常數項相等 (c ≠ 0)，故上式可改寫為:[/size][/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=4][color=black][size=4]cx[/size][/color][/size][size=4]² = [/size][color=black][size=4][color=#ff0000]c*f[/color][size=3][color=#ff0000](x)[/color][/size][color=#ff0000] - 4x - 4[/color] = [color=blue][size=4]c*g[/size][size=3](x)[/size][/color][size=4][color=blue] + 4x - 4[/color][/size][/size][/color][/size]
[size=3][color=black][size=4][size=4][color=blue] [/color][/size][/size][/color][/size][size=3][color=black][/color][/size]
[size=3][color=black]因紅藍式的一次項與常數項皆 = 0，故知可設[size=4] [/size][/color][/size][size=3][color=black][size=4][color=seagreen]f(x) = x² + ax + a[/color] ; [color=seagreen] g(x) = x² - ax + a[/color] [/size][/color][/size]
[size=4][/size]
[size=3]上式前半再改寫為:[/size]
[size=3][/size]
[size=4]4a[size=4]²[/size]x[size=4]² [/size] =[color=red] (4a[size=4]²)*([/size]x² + ax + a)[/color] [color=#ff0000]- 4x - 4[/color] [/size]
[size=4][/size]
[size=3]比較係數，得 a =1。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=4]f[/size][size=3](x)[/size][size=4] + g[/size][size=3](x) = [/size][size=4][color=seagreen] 2x² + 2a[/color] =[color=seagreen] 2x² + 2[/color] [/size][/size]
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