解方程式 2√(x^2-121)+11√(x^2-4)=(7√3)x
題目：設 \(x\in\mathbb{R}\)，解 \(2\sqrt{x^2-121}+11\sqrt{x^2-4}=7\sqrt{3}x\)解答：令 \(a=\sqrt{x^2-121}, b=\sqrt{x^2-4}\)
則題述為 \(2a+11b=7\sqrt{3}x\) ……(1)
利用 \(2^2 a^2 -11^2 b^2 = 2^2\left(x^2-121\right)-11^2 \left(x^2-4\right)=-117x^2\) ……(2)
由 (2)除以(1)（顯然 \(x\neq0\)，所以可以相除），
可得 \(\displaystyle 2a-11b=-\frac{39\sqrt{3}}{7}x\) ……(3)
由 (1)&(3) 解聯立方程式，
可得 \(\displaystyle 2a=\frac{5\sqrt{3}x}{7}\) 且 \(\displaystyle 11b=\frac{44\sqrt{3}}{7}x\)
\(\Rightarrow \displaystyle 2\sqrt{x^2-121}=\frac{5\sqrt{3}x}{7}\) 且 \(\displaystyle 11\sqrt{x^2-4}=\frac{44\sqrt{3}}{7}x\)
\(\Rightarrow x^2=196 \Rightarrow x=\pm14\) ，但負不合，因此 \(x=14.\) [size=3]分享一個淺見。[/size]
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[size=3]因注意到 121 = 11²，4 = 2²，且未知數的型式與直角三角形有關，故聯想到:[/size]
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[size=3]如下圖，以 x ( 顯然 > 0 ) 為直徑作圓，依托勒密定理，題目各元素成為以下構圖:[/size]
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[size=3][img]http://i.imgur.com/HZHWedl.png[/img][/size]
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[size=3]所求 x 即三邊為 11, 2, 7√3 之三角形之外接圓直徑，由正/餘弦定理易求得 x = 14。[/size]
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回復 2# cefepime 的帖子
漂亮的觀點!!!! @@[quote]原帖由 [i]cefepime[/i] 於 2016-2-8 11:30 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=14855&ptid=2448][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
分享一個淺見。
因注意到 121 = 11²，4 = 2²，且未知數的型式與直角三角形有關，故聯想到:
如下圖，以 x ( 顯然 > 0 ) 為直徑作圓，依托勒密定理，題目各元素成為以下構圖:
[attach]3209[/attach]
所求 x 即 ... [/quote] 剛剛看到朋友出的類題剛好拿來試用 cefepime 的方法。
題目： \(2\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2-4}=x^2\)
解答：
[attach]3225[/attach]
然後再來一個另解，
[attach]3226[/attach]
再再一個我常用的解法，
另解，
令 a=√(x^2-1), b=√(x^2-4)，
由 2a+b=x^2, 4a^2-b^2=3x^2
可得 2a-b=3，
解聯立{2a+b=x^2, 2a-b=3}，
得 a=(x^2+3)/4，即 √(x^2-1) = (x^2+3)/4
解得 x^2 = 5，x=±√5
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