請問一題關於排列問題
找不出規率，來請教老師一下謝謝
\(n>1, n\in\mathbb{N}\)
\(\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}=\left\{1, 2, \cdots, n\right\}\) 的排列，
若 \(i\in\left\{1, 2, \cdots, n-1\right\}\)
試求恰一組 \(a_i>a_{i+1}\) 的排列數。
回復 1# whzzthr 的帖子
\(\begin{align}& n\ge 3 \\
& {{a}_{n}}=2{{a}_{n-1}}+\left( n-1 \right) \\
& {{a}_{n}}={{2}^{n}}-n-1 \\
\end{align}\)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2016-2-7 04:33 PM 編輯 [/i]] [size=3]題意的充要條件即: 把 1, 2, ..., n 直線排列為兩組 B[size=1]1[/size]...B[size=1]i[/size],C[size=1]1[/size]...C[size=1]j [/size]，其中 < [size=4][size=3]B[/size][size=1]k [/size][/size][size=3]>，< C[/size][size=1]k [/size]>皆為遞增，且B[size=1]i[/size] > C[size=1]1[/size]。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]一個元素有 2 個分組法，而 n 個元素一旦分好組，即只有一種排列法。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]初步考慮分組方法數為: 2ⁿ，不合者為: 某組為空集合，或 B[size=1]i[/size] < C[size=1]1 [/size]: 這二種情況皆表排列為 1,2, ..., n，而"分組線"位於某元素之前後，故有 n+1 種情況。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]故所求為: 2ⁿ - (n+1) = 2ⁿ - n - 1 [/size]
[size=3][/size] 了解了！
謝謝weiye老師的文字敘述
謝謝thepaino老師的解答
謝謝cefepime老師清楚的分析
感謝!
頁:
[1]