請教兩題數列與級數
1.兩個等差數列,其首 \(n\) 項和的比為 \(\left(7n+1\right):\left(4n+27\right)\),求第一數列之第 \(4\) 項與第二數列之第 \(5\) 項的比?
答案:\(50:63\)
2.
第二題:觀察下表,每一行、每一列中的數字皆形成等差數列,且有無窮多項,則表中 \(717\) 總共出現幾次?
答案: \(28\)
\( \matrix{1&3&5&7&9&…\cr
3&6&9&12&15&…\cr
5&9&13&17&21&…\cr
7&12&17&22&27&…\cr
9&15&21&27&33&…\cr
11&18&25&32&39&…\cr
…&…&…&…&…&…} \) 第一題:兩個等差數列,其首 \(n\) 項和的比為 \(\left(7n+1\right):\left(4n+27\right)\),求第一數列之第 \(4\) 項與第二數列之第 \(5\) 項的比?答案:\(50:63\)
解答:
可令此兩[b]等差數列[/b]前 \(n\) 項和分別為 \(\left(7n^2+n\right)t\) 及 \(\left(4n^2+27n\right)t\)
則此兩數列的第 \(n\) 項\((n\geq2)\)分別為
\(\left(7n^2+n\right)t-\left(7\left(n-1\right)^2+\left(n-1\right)\right)t=\left(14n-6\right)t\)
及
\(\left(4n^2+27n\right)t-\left(4\left(n-1\right)^2+27\left(n-1\right)\right)t=\left(8n+23\right)t\)
所以,第一數列的第 4 項與第二數列的第 5 項的比為 \(\left(14\times4-6\right)t:\left(8\times5+23\right)t=50:63\). 第二題:觀察下表,每一行、每一列中的數字皆形成等差數列,且有無窮多項,則表中 \(717\) 總共出現幾次?答案: \(28\)
[table][tr][td]
1[/td][td]
3[/td][td]
5[/td][td]
7[/td][td]
9[/td][td]
…[/td][/tr][tr][td]
3[/td][td]
6
[/td][td]
9
[/td][td]
12
[/td][td]
15
[/td][td]
…
[/td][/tr][tr][td]
5
[/td][td]
9
[/td][td]
13
[/td][td]
17
[/td][td]
21
[/td][td]
…
[/td][/tr][tr][td]
7
[/td][td]
12
[/td][td]
17
[/td][td]
22
[/td][td]
27
[/td][td]
…
[/td][/tr][tr][td]
9
[/td][td]
15
[/td][td]
21
[/td][td]
27
[/td][td]
33
[/td][td]
…
[/td][/tr][tr][td]
11
[/td][td]
18
[/td][td]
25
[/td][td]
32
[/td][td]
39
[/td][td]
…
[/td][/tr][tr][td]
…
[/td][td]
…
[/td][td]
…
[/td][td]
…
[/td][td]
…
[/td][td]
…
[/td][/tr][/table]
解答:
此表格第 \(a\) 列第 \(b\) 行的位置為 \(\left(1+\left(a-1\right))\cdot2\right)+\left(b-1\right)\cdot\left(a+1\right)=ab+a+b-2\)
依題述,可得 \(ab+a+b-2= 717\Rightarrow (a+1)(b+1)=720 \Rightarrow (a+1)(b+1)=2^4\times3^2\times5\)
\((a,b)\) 共有 \(5\times3\times2-2=28\) 組正整數解。
回復 3# weiye 的帖子
感謝weiye 老師,我明白了!!回復 4# thankyou 的帖子
不好意思,請問如何得知n(7n+1)t及n(4n+27)t各別都要有n倍,謝謝!!回復 5# thankyou 的帖子
首 n 項的和是 n 的二次多項式回復 6# thepiano 的帖子
感謝thepiano 老師,我明白了!!頁:
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