Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 2015ARML台灣選拔賽

leo790124 發表於 2016-1-17 15:07

2015ARML台灣選拔賽

請益這兩題很類似的圖形
但怎麼想就是想不出相關的幾何意義
旋轉，或是構造正三角形
也有想過正弦與積化和差
但不太好做
請益大家的想法

個人賽I-1
在\( \Delta ABC \)中，\( \overline{AB}=\overline{AC} \)，\(P \)為內部一點，滿足\( ∠PAB=16^{\circ} \)，\( ∠PBA=14^{\circ} \)。已知\( ∠BAC=64^{\circ} \)，試求：\(∠APC\)的大小。

團體賽T-1
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(∠BAC=80^{\circ}\)，\(P\)為內部一點滿足\(∠PAB=∠PBA=10^{\circ}\)，試求：\(∠APC\)的大小。

活動網頁
[url]http://www.tmo.com.tw/arml/?p=preliminary[/url]

thepiano 發表於 2016-1-17 16:17

回復 1# leo790124 的帖子

團體賽T-1
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(∠BAC=80^{\circ}\)，\(P\)為內部一點滿足\(∠PAB=∠PBA=10^{\circ}\)，試求：\(∠APC\)的大小。
[解答]
令\(\overline{PA}=1,\angle APC=x\)

\(\begin{align}
  & \frac{\overline{AB}}{\sin 160{}^\circ }=\frac{1}{\sin 10{}^\circ } \\
& \overline{AB}=\frac{\sin 160{}^\circ }{\sin 10{}^\circ }=2\sin 80{}^\circ  \\
&  \\
& \frac{\overline{AC}}{\sin x}=\frac{1}{\sin \left( 110{}^\circ -x \right)} \\
& \overline{AC}=\frac{\sin x}{\sin \left( 110{}^\circ -x \right)} \\
&  \\
& \frac{\sin x}{\sin \left( 110{}^\circ -x \right)}=2\sin 80{}^\circ  \\
& x=80{}^\circ  \\
\end{align}\)

thepiano 發表於 2016-1-17 16:31

回復 1# leo790124 的帖子

另一題做法差不多，答案是104度

leo790124 發表於 2016-1-17 16:46

回復 2# thepiano 的帖子

最後一步看出x=80的部分就真的直接用看的嗎@@?
做的過程就是覺得這邊不知還有沒有辦法用算地得知

thepiano 發表於 2016-1-17 17:37

回復 4# leo790124 的帖子

用看的就可以了，反正 x 僅有一解嘛

leo790124 發表於 2016-1-18 21:29

再請教兩題
T-6 以找規律的方法可知隨著f(2)的值增加每兩個所求會增加1
但除了找規律歸納法之外
請教直接排組的做法！
不知道跟n進位是否有關係

團體賽T-5.
已知\( x,y,z \)均為非負實數，且滿足\(xyz+x+z=y\)，試求下列算式的最大值。
\( \displaystyle \frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1+y^2}+\frac{3}{1+z^2} \)

團體賽T-6.
已知多項式\(f(x)\)的各項係數均為不大於3的非負整數，且滿足\(f(2)=2016\)。像這樣的多項式一共有若干個？

thepiano 發表於 2016-1-19 12:17

回復 6# leo790124 的帖子

團體賽T-5.
已知\( x,y,z \)均為非負實數，且滿足\(xyz+x+z=y\)，試求下列算式的最大值。
\( \displaystyle \frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1+y^2}+\frac{3}{1+z^2} \)
[解答]
\(\begin{align}
  & xyz+x+z=y \\
& z=\frac{y-x}{1+xy} \\
& x=\tan A,y=\tan B,z=\tan C\quad \left( 0\le A,B,C<\frac{\pi }{2} \right) \\
& C=B-A \\
& \frac{2}{1+{{x}^{2}}}-\frac{2}{1+{{y}^{2}}}+\frac{3}{1+{{z}^{2}}} \\
& =2{{\cos }^{2}}A-2{{\cos }^{2}}B+3{{\cos }^{2}}C \\
& =1+\cos 2A-1-\cos 2B+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =\cos 2A-\cos 2B+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =2\sin \left( B+A \right)\sin C+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& \le 2\sin C+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =-3{{\left( \sin C-\frac{1}{3} \right)}^{2}}+\frac{10}{3} \\
\end{align}\)

thepiano 發表於 2016-1-19 14:55

回復 6# leo790124 的帖子

已知多項式\(f(x)\)的各項係數均為不大於3的非負整數，且滿足\(f(2)=2016\)。像這樣的多項式一共有若干個？
[解答]
Google
許介彥教授的大作
"生成函數在計數問題的應用"，第6頁

leo790124 發表於 2016-1-19 20:41

回復 8# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師!!!!!
有想到轉換三角函數  但是到cos^2就停住了!!

leo790124 發表於 2016-1-19 20:49

該如何湊柯西的方向呢??

接力賽R1-A.
已知\(a,b,c\)均為非負整數，試求下列算式的最小值\(A\)。
\( \displaystyle \frac{a}{b+3c}+\frac{b}{8c+4a}+\frac{9c}{3a+2b} \)

thepiano 發表於 2016-1-19 21:45

回復 10# leo790124 的帖子

接力賽R1-A.
已知\(a,b,c\)均為非負整數，試求下列算式的最小值\(A\)。
\( \displaystyle \frac{a}{b+3c}+\frac{b}{8c+4a}+\frac{9c}{3a+2b} \)
[提示]
令\( b + 3c = x\)，\(8c + 4a = y\)，\(3a + 2b = z\)
分別把\( a、b、c \)用\( x、y、z \)表示
化簡後用算幾

leo790124 發表於 2016-1-21 00:46

回復 11# thepiano 的帖子

分子的部分該如何處理呢??
最後一行的式子覺得應該不是這樣寫
還有什麼地方要修正嗎@@?

[[i] 本帖最後由 leo790124 於 2016-3-28 04:16 PM 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2016-1-21 08:20

回復 12# leo790124 的帖子

\(\begin{align}
  & \frac{a}{b+3c}+\frac{b}{8c+4a}+\frac{9c}{3a+2b} \\
& =\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{9c}{z} \\
& =\frac{-8x+3y+4z}{24x}+\frac{8x-3y+4z}{16y}+\frac{9\times \left( 8x+3y-4z \right)}{48z} \\
& =-\frac{1}{3}+\frac{y}{8x}+\frac{z}{6x}+\frac{x}{2y}-\frac{3}{16}+\frac{z}{4y}+\frac{3x}{2z}+\frac{9y}{16z}-\frac{3}{4} \\
& =\left( \frac{y}{8x}+\frac{x}{2y} \right)+\left( \frac{z}{4y}+\frac{9y}{16z} \right)+\left( \frac{z}{6x}+\frac{3x}{2z} \right)-\frac{61}{48} \\
& \ge \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+1-\frac{61}{48} \\
& =\frac{47}{48} \\
\end{align}\)

瓜農自足 發表於 2016-1-21 23:11

回復 13# thepiano 的帖子

頗巧妙...

thepiano 發表於 2016-1-27 23:32

回復 1# leo790124 的帖子

第 1 題
純幾何的解法

gilion2001 發表於 2016-6-9 21:58

回復 15# thepiano 的帖子

謝謝！

cefepime 發表於 2017-2-21 14:11

[size=3]團體賽T-6[/size]
[size=3]
已知多項式[font=Times New Roman] [/font][/size][i][font=Times New Roman][size=3]f[/size][/font][/i][size=3][font=Times New Roman]([i]x[/i][/font][font=Times New Roman])[/font] [/size][font=新細明體][size=3]的各項係數均為不大於 [font=Times New Roman]3 [/font]的非負整數，且滿足[/size][/font][size=3][font=Times New Roman] [i][size=3]f[/size][/i][/font][/size][font=Times New Roman][size=3](2) [/size][/font][font=Times New Roman][size=3]= [/size][/font][size=3][font=Times New Roman]2016[/font][/size][font=新細明體][size=3]。像這樣的多項式一共有若干個？[/size][/font]
[font=新細明體][size=3][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][/size][/font]
[font=新細明體][size=3]由 [/size][font=Times New Roman][size=3]thepiano 老師提示，許介彥教授的大作中，是以 "生成函數" 的方法，得出: 滿足[/size][size=3] [i][font=Times New Roman]f[/font][/i][/size][size=3](2) [/size][size=3]= [/size][size=3]n [/size][font=新細明體][size=3]的多項式一共有[font=Times New Roman] [n/2] +1[/font] 個。("[font=Times New Roman][ ][/font]" 為高斯符號)[/size][/font][/font][/font]
[font=新細明體][size=3][/size][/font]
[font=新細明體][size=3]由於答案形式簡單，故嘗試構思一個過程簡明的方法，如下。 ( 在此考慮  [size=3][font=Times New Roman][/font][i][font=Times New Roman]f[/font][/i][/size][font=Times New Roman][size=3](2) [/size][/font][size=3]= [/size][font=Times New Roman][size=3]n 的條件 [/size][/font])[/size][/font]
[font=新細明體][size=3][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][/size][/font]
[font=新細明體][size=3]解: 令[font=Times New Roman] [/font][/size][i][font=Times New Roman][size=3]f[/size][/font][/i][size=3][font=Times New Roman]([i]x[/i][/font][font=Times New Roman]) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴+... 為[/font]符合條件的多項式，即: [/size][/font]
[font=新細明體][size=3]
[/size][/font][font=Times New Roman][size=3]n = a₀ + a₁2 + a₂2² + a₃2³ + a₄2⁴+... ， {a₀, a₁, a₂...}∈{0,1,2,3}[/size][/font]
[font=Times New Roman][size=3]
[/size][/font][font=Times New Roman][size=3]由係數的限制，聯想到 4 進位表示法，故將上式改寫為:[/size][/font]
[font=Times New Roman][size=3]
[/size][/font][font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3]n = (a₀ + a₂2²  + a₄2⁴+...) + 2*([font=Times New Roman]a₁+ a₃2² + a₅2⁴+...) [/font][/size][/font][/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman]=[color=orange] [/color][color=red](a₀ + a₂4¹  + a₄4² +...)[/color] + [color=blue]2*([/color][font=Times New Roman][color=blue]a₁+ a₃4¹ + a₅4² +...)[/color]   [ "( )" 內均為 4 進位的架構 ][/font][/font][/size][/font][/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman]
[/font][/font][/size][/font][/font][font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman]上式可視為將 n 表示為[color=seagreen] [/color][color=red]P[/color][color=red] [/color]+ [color=blue]2Q[/color][color=black]，即一個序組{a₀, a₁, a₂...}對應一個 "將 n 表示為一[color=red]非負整數[/color]與一[color=blue]非負偶數[/color]之和" 的方法 (一對一對應)。[/color][/font][/font][/size][/font][/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman]
[/font][/font][/size][/font][/font][font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman]反之，依上式將 n 表示為一[color=red]非負整數[/color]與一[color=blue]非負偶數[/color]之和時，亦因任一[color=black]非負[/color]整數恰有一個符合上式形式的 4 進位表示法，[/font][/font][/size][/font][/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman][/font][/font][/size][/font][/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman]故亦對應一個序組 {a₀, a₁, a₂...} [/font][/font][/size][/font][/font][font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman](一對一對應)。[/font][/font][/size][/font][/font]
[font=Times New Roman][size=3][/size][/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman]
[/font][/font][/size][/font][/font][font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman]綜上，所求多項式的個數 = "將 n 表示為一[color=black]非負整數與一非負偶數[/color]之和" 的方法數 {如: n+0, (n-2)+2, (n-4)+4...} =  [color=red][n/2] +1[/color]  ("[font=Times New Roman][ ][/font]" 為高斯符號)[/font][/font][/size][/font][/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman]
[/font][/font][/size][/font][/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman]原題答案為 [2016/2]+1 = 1009。[/font][/font][/size][/font][/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman]
[/font][/font][/size][/font][/font][font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman]-------------------------------------------------------------------------------[/font][/font][/size][/font][/font]

[font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman]本題若用遞迴關係來切入，可得[/font][/font][/size][/font][/font]

[font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman]A(n+1) = A(n)+1 (當 n 為奇數) 或 A(n+1) = A(n) (當 n 為偶數) [A(k)表示滿足 [i][font=Times New Roman]f[/font][/i][font=Times New Roman][size=3](2) [/size][/font][size=3]= [/size][font=Times New Roman][size=3]k 的多項式個數[/size][/font]]，進而得出上述結論，過程亦不複雜。[/font][/font][/size][/font][/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman][/font][/font][/size][/font][/font]


[font=Times New Roman][font=Times New Roman][size=3][font=Times New Roman][font=Times New Roman][/font][/font][/size][/font][/font]

[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2017-2-22 13:23 編輯 [/i]]

joby 發表於 2017-4-20 13:07

可否請教 團體賽的 T2 和 T7
麻煩各位先進指教!!

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