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mathca 發表於 2015-12-20 10:38

97潮州高中

請教第5題，感謝。

thepiano 發表於 2015-12-20 15:32

回復 1# mathca 的帖子

第 5 題
我們定義\(n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times \ldots \times 3 \times 2 \times 1\)，例如\(5!=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120\)。試問使得\(n!\)的最後90位數字全是0的最小正整數\(n\)是多少？(例如\(5!\)最後只有1位數字是0)
參考 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2420[/url]

mathca 發表於 2015-12-24 15:03

回復 1# mathca 的帖子

設\(\displaystyle S_n=\sum_{k=2}^n log_2(cos \frac{\pi}{2^k})\)，求證：\(-1<S_n<0\)

求證第7題，
算到後來
Sn= log2  [ 2/pi * pi/2^n  /   sin pi/2^n ]
如何再得知Sn範圍，感謝。

thepiano 發表於 2015-12-24 15:22

回復 3# mathca 的帖子

\(\begin{align}
  & 0<x<\frac{\pi }{2} \\
& x\cos x<\sin x<x \\
\end{align}\)

mathca 發表於 2015-12-24 17:31

回復 4# thepiano 的帖子

複習了提示是對的之後 (\(sinx<x<tanx\))，還是推不出後面，再請教後續，感謝。

thepiano 發表於 2015-12-24 20:36

回復 5# mathca 的帖子

\(\begin{align}
  & 0<\frac{\pi }{{{2}^{n}}}<\frac{\pi }{2} \\
& {{\log }_{2}}\left( \frac{2}{\pi }\times \frac{\frac{\pi }{{{2}^{n}}}}{\sin \frac{\pi }{{{2}^{n}}}} \right)>{{\log }_{2}}\frac{2}{\pi }>{{\log }_{2}}\frac{1}{2}=-1 \\
& {{\log }_{2}}\left( \frac{2}{\pi }\times \frac{\frac{\pi }{{{2}^{n}}}}{\sin \frac{\pi }{{{2}^{n}}}} \right)<{{\log }_{2}}\left( \frac{2}{\pi }\times \frac{\frac{\pi }{{{2}^{n}}}}{\frac{\pi }{{{2}^{n}}}\cos \frac{\pi }{{{2}^{n}}}} \right)={{\log }_{2}}\left( \frac{2}{\pi \cos \frac{\pi }{{{2}^{n}}}} \right)<{{\log }_{2}}\left( \frac{2}{\pi \cos \frac{\pi }{4}} \right)<0 \\
\end{align}\)

mathca 發表於 2015-12-24 21:38

回復 6# thepiano 的帖子

感謝，做了一些估計，自己估好久估不出來。看完後一目了然。

Ellipse 發表於 2015-12-24 21:59

這題是民國7x年的夜大考題~

satsuki931000 發表於 2021-1-19 15:18

附上小弟算的答案一起交流參考一下
1. \(a=3\)，Max=20
2. \( \displaystyle (1,\frac{4}{3},\frac{4}{3} ) \)
4. 正交弦長\(\displaystyle \frac{15}{2} \) ,\(P(-3,\frac{7}{2})\)
5.370
6.9
8.\( \displaystyle \frac{-60}{83} \)
9.(1) \(L_1 \)交點(2,-1,3) \(L_2 \)交點(4,2,-3)
   (2) \(2x+3y-6z+17=0\)
10. 120

tsusy 發表於 2021-1-20 19:27

回復 9# satsuki931000 的帖子

若\(\vec{a}=(1,2,-3)\)，\(\vec{b}=(2,-4,3)\)，\(\vec{c}=(x,y,z)\)為空間三個非零向量，且\(\vec{c}⊥\vec{a}\)，\(\vec{c}⊥\vec{b}\)，求\(\displaystyle \frac{2xy+yz-5xz}{x^2-y^2+2z^2}\)的值。

僅 8. 答案不同 \(\displaystyle \frac{-60}{83} \)
計算過程參考如下：
\( (1,2,-3)\times(2,-4,3)=(-6,-9,-8) \Rightarrow x:y:z=6:9:8 \)

故 \(\displaystyle \frac{2xy+yz-5xz}{x^{2}-y^{2}+2z^{2}}=\frac{2\cdot54+72-5\cdot48}{36-81+2\cdot64} =-\frac{60}{83}\)

thepiano 發表於 2021-1-20 22:12

回復 9# satsuki931000 的帖子

第 4 題
已知平面上一橢圓\(\Gamma\)之兩焦點為\(F(-1,2)\)，\(F'(3,-1)\)。若直線\(L\)：\(8x-6y+45=0\)與橢圓\(\Gamma\)相切於\(P\)點，試求此橢圓之正焦弦長及\(P\)點坐標。

正焦弦長應是 15/2

satsuki931000 發表於 2021-1-21 10:44

回復 11# thepiano 的帖子

非常感謝寸斯老師 鋼琴老師的指正

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