多項式 牛頓插值法
設f(x)為四次實係數多項式，且首項係數為1，已知f(3)=9，f(5)=16，f(7)=27，求f(1)+f(9)=?如果不要用拉格朗插值法 而是用牛頓要如何解呢?
回復 1# weiwei 的帖子
先提供答案 432，等妙解回復 2# thepiano 的帖子
好的 ^^回復 1# weiwei 的帖子
小弟先拋磚引玉，繼續等妙解......回復 4# thepiano 的帖子
那(x-9)是怎麼假設出來的呢?是因為所求有f(1)+f(9)嗎?
那可以用(x-1)假設嗎?
不好意思問題有點多 謝謝你^^
回復 1# weiwei 的帖子
小弟沒有妙解，但有用牛頓插值法做令f(x)=(x-3)(x-5)(x-7)(x-k)+a(x-3)(x-5)(x-7)+b(x-3)(x-5)+c(x-3)+9...(*)
f(1)+f(9)=48*8+32b+4c+18
x=5代入(*)可得2c=7=>4c=14
x=7代入(*)可得8b=4=>32b=16
故所求即為384+16+14+18=432
回復 6# superlori 的帖子
感謝你的神奇牛頓法!!!! ^^ [quote]原帖由 [i]weiwei[/i] 於 2015-12-7 07:23 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=14375&ptid=2398][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]那(x-9)是怎麼假設出來的呢?
是因為所求有f(1)+f(9)嗎??[/quote]
對啊
[quote]那可以用(x-1)假設嗎?[/quote]
可以
回復 6# superlori 的帖子
妙解出現了，帥啊回復 1# weiwei 的帖子
小弟也獻醜一下 請各位版大別見笑令f(x)=(x-3)(x-5)(x-5)(x-7)+a(x-3)(x-5)(x-7)+b(x-3)(x-7)+c(x-3)+9
由條件可以解出c=4.5 ,b=0.5
所求f(1)+f(9)=2*16*6*2+0+(0.5)*2*6*2+(4.5)*(1+9-6)+18=432 [size=3]諸 x 呈等差，試試巴貝奇定理[/size]
[url=https://math.pro/db/thread-673-1-1.html][size=3]https://math.pro/db/thread-673-1-1.html[/size][/url]
[size=3]令 F[size=2](x)[/size] = f[size=2](x)[/size] - x[size=4]⁴[/size]，則 deg F[size=2](x)[/size] ≤ 3[/size]
[size=3][/size]
[size=3] F[size=2](1)[/size] - 4*F[size=2](3)[/size] + 6*F[size=2](5)[/size] - 4*F[size=2](7)[/size] + F[size=2](9)[/size] = 0[/size]
[size=3][/size]
[size=3]f[size=2](1)[/size] + f[size=2](9)[/size] = 1[size=4]⁴[/size][/size][size=3] + 9[size=4]⁴ [/size]+ 4*(9 - 3[size=4]⁴ [/size]+ 27 - 7[size=4]⁴[/size]) - 6*(16 - 5[size=4]⁴[/size]) = 432[/size]
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