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早晚都要做的事,晚做不如早做。
假如你做了,你就會有力量。

weiwei 發表於 2015-12-7 15:40

多項式 牛頓插值法

設f(x)為四次實係數多項式,且首項係數為1,已知f(3)=9,f(5)=16,f(7)=27,求f(1)+f(9)=?
如果不要用拉格朗插值法 而是用牛頓要如何解呢?

thepiano 發表於 2015-12-7 17:55

回復 1# weiwei 的帖子

先提供答案 432,等妙解

weiwei 發表於 2015-12-7 19:09

回復 2# thepiano 的帖子

好的 ^^

thepiano 發表於 2015-12-7 19:16

回復 1# weiwei 的帖子

小弟先拋磚引玉,繼續等妙解......

weiwei 發表於 2015-12-7 19:23

回復 4# thepiano 的帖子

那(x-9)是怎麼假設出來的呢?
是因為所求有f(1)+f(9)嗎?
那可以用(x-1)假設嗎?

不好意思問題有點多 謝謝你^^

superlori 發表於 2015-12-7 19:31

回復 1# weiwei 的帖子

小弟沒有妙解,但有用牛頓插值法做
令f(x)=(x-3)(x-5)(x-7)(x-k)+a(x-3)(x-5)(x-7)+b(x-3)(x-5)+c(x-3)+9...(*)
f(1)+f(9)=48*8+32b+4c+18
x=5代入(*)可得2c=7=>4c=14
x=7代入(*)可得8b=4=>32b=16
故所求即為384+16+14+18=432

weiwei 發表於 2015-12-7 19:38

回復 6# superlori 的帖子

感謝你的神奇牛頓法!!!! ^^

thepiano 發表於 2015-12-7 21:02

[quote]原帖由 [i]weiwei[/i] 於 2015-12-7 07:23 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=14375&ptid=2398][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
那(x-9)是怎麼假設出來的呢?
是因為所求有f(1)+f(9)嗎??[/quote]
對啊
[quote]那可以用(x-1)假設嗎?[/quote]
可以

thepiano 發表於 2015-12-7 21:03

回復 6# superlori 的帖子

妙解出現了,帥啊

bibibobo 發表於 2015-12-7 22:01

回復 1# weiwei 的帖子

小弟也獻醜一下 請各位版大別見笑

令f(x)=(x-3)(x-5)(x-5)(x-7)+a(x-3)(x-5)(x-7)+b(x-3)(x-7)+c(x-3)+9

由條件可以解出c=4.5 ,b=0.5

所求f(1)+f(9)=2*16*6*2+0+(0.5)*2*6*2+(4.5)*(1+9-6)+18=432

cefepime 發表於 2015-12-8 00:09

[size=3]諸 x 呈等差,試試巴貝奇定理[/size]
[url=https://math.pro/db/thread-673-1-1.html][size=3]https://math.pro/db/thread-673-1-1.html[/size][/url]

[size=3]令 F[size=2](x)[/size] = f[size=2](x)[/size] - x[size=4]⁴[/size],則 deg F[size=2](x)[/size] ≤ 3[/size]
[size=3][/size]
[size=3] F[size=2](1)[/size] - 4*F[size=2](3)[/size] + 6*F[size=2](5)[/size] - 4*F[size=2](7)[/size] + F[size=2](9)[/size] = 0[/size]
[size=3][/size]
[size=3]f[size=2](1)[/size] + f[size=2](9)[/size] = 1[size=4]⁴[/size][/size][size=3] + 9[size=4]⁴ [/size]+ 4*(9 - 3[size=4]⁴ [/size]+ 27 - 7[size=4]⁴[/size]) - 6*(16 - 5[size=4]⁴[/size]) = 432[/size]

[size=3][/size]
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