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whzzthr 發表於 2015-11-30 14:40

請教一題

若\(a,b,c\in R\),令\(M=max|\;x^3+ax^2+bx+c|\;\),證:\(\displaystyle M\ge \frac{1}{4}\)。
這題完全不知該如何想,想來請教老師
謝謝

thepiano 發表於 2015-11-30 16:26

\(\begin{align}
  & M\ge \left| a+b+c+1 \right| \\
& M\ge \left| a-b+c-1 \right| \\
& M\ge \left| \frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c+\frac{1}{8} \right| \\
& M\ge \left| \frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c-\frac{1}{8} \right| \\
&  \\
& M+M+2M+2M \\
& \ge \left| a+b+c+1 \right|+\left| a-b+c-1 \right|+\left| \frac{1}{2}a-b+2c-\frac{1}{4} \right|+\left| \frac{1}{2}a+b+2c+\frac{1}{4} \right| \\
& \ge \left| a+b+c+1-\left( a-b+c-1 \right)+\frac{1}{2}a-b+2c-\frac{1}{4}-\left( \frac{1}{2}a+b+2c+\frac{1}{4} \right) \right| \\
& =\frac{3}{2} \\
&  \\
& M\ge \frac{1}{4} \\
\end{align}\)

whzzthr 發表於 2015-12-2 12:48

了解了。
怎麼能想到這樣做,差太遠了。
繼續努力吧
謝謝the piano老師,謝謝

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