急求救~請教積分求體積
想請問版上強者,若兩個等半徑的直圓柱垂直相交的公共部分(牟合方蓋)其體積為16/3倍的半徑3次方那若當兩直圓柱不垂直相交時(例如:兩直圓柱的中心線夾角θ),則其公共部分的體積該怎麼算呢? 當兩個等半徑的直圓柱垂直相交時，我們可以使用積分來求解其公共部分的體積。首先，讓我們回顧一下垂直相交的情況。
垂直相交的情況：假設兩個等半徑的直圓柱的半徑為 (r)，高度為 (h)。
公共部分的體積為 (V = \frac{16}{3} \cdot r^3)。
不垂直相交的情況：當兩個直圓柱的中心線夾角為 (\theta) 時，我們需要考慮公共部分的體積。
我們可以使用積分來計算這個體積。
讓我們來討論不垂直相交的情況。假設兩個直圓柱的半徑仍然為 (r)，高度為 (h)，且中心線夾角為 (\theta)。
我們可以將公共部分切割成無數個薄片，每個薄片的高度為 (dz)，半徑為 (r)。
這些薄片的截面形狀是一個扇形，其面積為 (A(z) = \frac{1}{2} r^2 \theta)。
我們可以使用積分來計算整個公共部分的體積： [ V = \int_{0}^{h} A(z) , dz = \int_{0}^{h} \frac{1}{2} r^2 \theta , dz ]
角度 (\theta) 可以表示為 (\theta = \frac{2\pi}{360} \cdot \theta)，其中 (\theta) 的單位是度。
因此，我們可以將 (\theta) 表示為弧度制： (\theta = \frac{\pi}{180} \cdot \theta)。
我們可以計算積分： [ V = \frac{\pi}{360} \cdot r^2 \int_{0}^{h} \theta , dz ]
角度 (\theta) 的範圍是從 0 到 (\theta)，因此積分變為： [ V = \frac{\pi}{360} \cdot r^2 \int_{0}^{h} \frac{2\pi}{180} \cdot z , dz ]
計算積分後，我們可以得到公共部分的體積。
總之，使用積分計算不垂直相交的兩個直圓柱的公共部分的體積。
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