102高中數學能力競賽
2.連續投擲一公正的骰子，直到點數1出現7次才停止。若出現的點數1其前後出現的點數都不是1時，我們稱這種1點為「孤立1」。例如：當投擲出現的點數依序為1,2,1,1,5,4,1,6,6,1,1,1時，其中投擲的第1次及第7次所出現的點數1都是「孤立1」。設隨機變數\(X\)表示投擲中出現「孤立1」的次數。則\(X\)的期望值為[u] [/u]。
3.
已知正數\(x,y,z\)滿足\(x^2+y^2+2z^2=10\)，\( \sqrt{xy}+3z \)的最大值為[u] [/u]。
出自102高中數學能力競賽複賽筆試(二)-北三區(新竹高中)試題
106.7.22
補上102高中數學能力競賽完整試題
106.7.24
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的黃球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求：小紅球的最大半徑為[u] [/u]單位。
提示
([url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1268&page=1#pid4541[/url])
108.5.18補充
設\(\displaystyle a=7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)(有2013個7)，試求\(a\)的末兩位數為[u] [/u]。
(北二區(新竹高中)筆試二試題)
設\(\displaystyle 7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)總共2019個7，請問此數除以100的餘數為[u] [/u]。
(108新北市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3133-1-1.html[/url])
109.6.25補充
某一燈塔裝置了紅、黃、藍、綠、紫五種不同顏色的燈，每晚會點亮其中一種燈，且每一晚都是從前一晚未點過的四種燈中隨機點亮一種。設第1晚點亮紅色燈，則第6晚也點亮紅色燈的機率為[u] [/u]（以最簡分數表示）。
北一區(花蓮高中)筆試二試題
(109新北市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html[/url])
設集合\(A=\{\;1,2,3,\ldots,102 \}\;\)共102個數，\(B\)、\(C\)為另2個集合，滿足\(B∪C=A\)，則這樣的\((B,C)\)共有[u] [/u]。
北一區(花蓮高中)筆試二試題
(109新北市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html[/url])
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的黃球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求：小紅球的最大半徑為[u] [/u]單位。
北一區(花蓮高中)筆試二試題
(109新北市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html[/url])
回復 1# cally0119 的帖子
第 2 題參考 [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2028[/url] [size=3]試解第一題，請 指教。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]就每次試驗而言，出現7個"1"是必然的。我們以這7個"1"為主角思考: 某個"1"是否為"孤立1"，取決於其前後是否出現"非1"。[/size]
[size=3]進一步而言，對於第一個與第七個"1"，若且唯若其後面/前面為"非1"，其成為"孤立1" (機率 = 5/6)。而中間五個"1"，若且唯若前後皆為"非1"，則成為"孤立1" (機率 = (5/6)²)。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]利用期望值具有"和"的性質，所求期望值為:[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]2*(5/6) + 5*(5/6)² = 185/36 (次)[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]
[/size]
[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2014-10-25 12:15 PM 編輯 [/i]] 補個出處：
102 學年度台灣省北三區 (新竹高中) 高級中學數理及資訊學科能力競賽
[url]http://cplee8tcfsh.blogspot.tw/2012/09/blog-post.html[/url] [size=3]第一題另外的想法:[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]考慮 n≥2，當要求"點數1"由出現 n 次增為出現 (n+1) 次時，X的期望值將增加 5/6 - (1/6)*(5/6) = 25/36 (次)[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]說明: 緊接第 n 次"點數1"，若為"非1" (機率 = 5/6)，則X增加1; 而若為"1"，則X可能不變(當第 n 次"點數1"之前緊接 "點數1"時)，或減1(當第 n 次"點數1"之前不緊接 "點數1"時: 機率 = (1/6)*(5/6))。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]因此，所求期望值為(由n=2出發):[/size]
[size=3]2*(5/6) + 5*(25/36) = 185/36 (次)[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]
[/size][size=3][/size] 謝謝各位高手的提點,有方向了!!
回復 3# cefepime 的帖子
cefepime 兄這個解法實在是太高妙了102高中數學能力競賽
老師們好，想再請教一題高中學科能力競賽102年北三區新竹高中的題目。
設\( \displaystyle x=\frac{3+\sqrt{13}}{2} \)，則\( \displaystyle \frac{x^{10}+x^8+x^2+1}{x^{10}+x^6+x^4+1} \)之値為[u] [/u]。
化簡到\(x^2=3x+1\)代入替換，可是這樣要做很久，想請問老師們有沒有更快的解法呢？謝謝。
102高中數學能力競賽題目下載
[url]http://cplee8tcfsh.blogspot.tw/2012/09/blog-post.html[/url] \(\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\Rightarrow x^3-3x-1=0\Rightarrow x-x^{-1}=3\)
\(\Rightarrow \displaystyle x+x^{-1}=\sqrt{\left(x-x^{-1}\right)^2+4}=\sqrt{13}\)
\(\displaystyle \Rightarrow x^2+x^{-2}=\left(x-x^{-1}\right)^2+2=11\)
\(\displaystyle \Rightarrow x^3+x^{-3}=\left(x+x^{-1}\right)^3-3\cdot x\cdot x^{-1} \left(x+x^{-1}\right)=10\sqrt{13}\)
\(\displaystyle \Rightarrow x^5+x^{-5}=\left(x^3+x^{-3}\right)\left(x^2+x^{-2}\right)- \left(x+x^{-1}\right)=109\sqrt{13}\)
所求＝\(\displaystyle \frac{x^{10}+x^8+x^2+1}{x^{10}+x^6+x^4+1}=\frac{x^5+x^3+x^{-3}+x^{-5}}{x^5+x+x^{-1}+x^{-5}}=\frac{119}{110}.\)
回復 1# ycdye 的帖子
\(\begin{align}& {{x}^{2}}=3x+1 \\
& x-\frac{1}{x}=3 \\
& {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=11 \\
& {{x}^{4}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}=119 \\
& \\
& \frac{{{x}^{10}}+{{x}^{8}}+{{x}^{2}}+1}{{{x}^{10}}+{{x}^{6}}+{{x}^{4}}+1} \\
& =\frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{8}}+1 \right)}{\left( {{x}^{4}}+1 \right)\left( {{x}^{6}}+1 \right)} \\
& =\frac{{{x}^{8}}+1}{\left( {{x}^{4}}+1 \right)\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \right)} \\
& =\frac{{{x}^{4}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}}{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( {{x}^{2}}-1+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)} \\
& =\frac{119}{110} \\
\end{align}\) 謝謝兩位老師的協助。
102 學年度台灣省北三區高級中學數理及資訊學科能力競賽
[url]http://pisa.math.ntnu.edu.tw/files/semi_finals/102/102_north3_semi-finals_writtenexam_2.pdf[/url]想請教第5,7題
回復 1# jp6ej04xjp6 的帖子
很久以前做過，忘得差不多了，第 7 題考慮 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:a,b,c,d,e \) 為滿足題意的一組數列，不失一般性假設 \( a+b\leq d+e \)。
則有另一組數列 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:e,d,c,d,e \) 滿足題意，且其總和大於或等於上面給的數列。
令 \( f=\max\{c,e\} \)，則 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:f,d,f,d,f \) 滿足題意，且其總和大於或等於上面給的數列。
因此對任何一個滿足題意的數列 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:a,b,c,d,e \)，我們都能找到另一個滿足題意的數列 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:f,d,f,d,f \)，使得 \( a+b+c+d+e\leq3f+2d \)。
又 \( f^{2}+d^{2}\leq1 \)，由柯西不等式可得 \( a+b+c+d+e\leq3f+2d\leq\sqrt{13} \)，當 \( a=c=e=f=\frac{3}{\sqrt{13}}, b=d=\frac{2}{\sqrt{13}} \)，數列的總和達最大值 \( \sqrt{13} \) 。
回復 2# tsusy 的帖子
解得好,若改成共有 2k+1 項呢.........設a1+a2,a3+a4,.....,a(2k-1)+a(2k)中最大值為a(2t-1)+a(2t),
設a(2t-1)=a,a(2t)=b,a(2k+1)=c,原數列總和為S
則新數列a,b,a,b,a,b.........a,b,c,滿足題意且其和T>=S,設d=max{a,c}
則新數列d,b,d,b,d,b.........d,b,d,滿足題意且其和U=(k+1)d+kb>=T
(d^2+b^2)[(k+1)^2+k^2]>=U^2欲使S最大則d^2+b^2=1,d/(k+1)=b/k
所以S最大值為ㄏ[(k+1)^2+k^2]
又若改成任三個相鄰項平方和小於或等於1呢(項數分3k,3k+1,3k+2,討論)? [size=3]第 5 題[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求區域可以分割為 5 個全等的 "鯊魚鰭形"。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]鯊魚鰭形 = 108°扇形 - "帳篷形" = 108°扇形 - (60°扇形*2 - √3 /4) = √3 /4 - π/30[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求 = 5√3 /4 - π/6[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
接樓上
灰色面積=正五邊形面積-樓上面積=1/2*1*(cot36度/2)*5-樓上面積
cos36度=(ㄏ5+1)/4
=>cot36度=(ㄏ5+1)/(ㄏ(10-2ㄏ5)=2^(-3/2)*5^(-1/4)*(ㄏ5+1)^(3/2)
灰色面積=2^(-7/2)*5^(3/4)*(ㄏ5+1)^(3/2)-樓上面積=0.0790126667......
即邊長1的正五邊形中到各頂點距離均小於或等於1的點所形成的區域面積為
pi/6-5/4*(ㄏ3-cot36度)約0.079
又邊長1的正方形中到各頂點距離均小於或等於1的點所形成的區域面積為
(1+1-2*1*1*cos30度)+4*[1/2*1*1*(pi/6-sin30度)](正方形+四個弓形)
或1-4*[pi/4-(pi/6*2-ㄏ3/4)] (此為樓上作法)=1+pi/3-ㄏ3約0.315
但邊長1的正立方體中到各頂點距離均小於或等於1的點所形成的區域體積為何?
有高手可以解答嗎?
3.
令x=(ㄏ10)cosAcosB,y=(ㄏ10)cosAsinB,z=(ㄏ5)sinA原式=(ㄏ5)cosA*(ㄏ(sin2B))+3(ㄏ5)sinA
當B=45度,cosA/1=sinA/3, x=y=1/ㄏ2 ,z=3/ㄏ2 時有最大值5ㄏ2 [b]回復 6# laylay 的帖子[/b]
[size=3]第 3 題 [/size]
[size=3][/size]
[size=3]類似的問題以前有各路好手解過，請參考 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2028&extra=&page=1]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2028&extra=&page=1[/url][/size]
[size=3][/size]
[size=3]再試一個較繁複的另解，也藉此機會練習一下 "待定係數" 的手法。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]# 已知正數 x，y，z 滿足 x² + y² + 2z² = 10，則 √xy + 3z 的最大值為?[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]想法: 利用算幾不等式，由 x² + y² 製造 √xy，而用 2z² 製造 3z。為了讓兩部分相容，引入待定係數 a > 0。[/size]
[size=3][/size]
[size=3](x² + y² + a² + a²) /4 ≥ a√xy ...(1)[/size]
[size=3](z² + 9a²) /2 ≥ 3az ...(2)[/size]
[size=3][/size]
[size=3](1) + (2)[/size]
[size=3][/size]
[size=3](5 + 10a²) /2a ≥ √xy + 3z[/size]
[size=3][/size]
[size=3]取等條件: x² = y² = a²，z² = 9a² ⇒ a² = 1/2[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求 = 5√2[/size]
[size=3][/size]
[size=3]-------------------------------------[/size]
[size=3][/size]
[size=3]當然，也可變通如下 (先不受限於 x² + y² + 2z² 的值，之後再縮放):[/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=3](x² + y² + 1 + 1) /4 ≥ √xy ...(1)[/size]
[size=3](z² + 9) /2 ≥ 3z ...(2)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]取等條件: x² = y² = 1，z² = 9 ⇒ x² + y² + 2z² = 20 ⇒ 最後再除以√2[/size]
[size=3](1) + (2)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]10 ≥ √xy + 3z[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求 = 10/√2 = 5√2[/size]
[/size] 3.
(x^2 +y^2 +2z^2)( (1/2)^2 +(1/2)^2 +3^2/2)>=[(x+y)/2 + 3z)]^2>=[(xy)^0.5 +3z]^2
10x5>=所求^2
Max=5(2)^0.5
期望值
請教這題，答案185／36頁:
[1]
2