[請教]空間中,求和四面體ABCD的四頂點等距的平面有多少個?
]空間中,ABCD不共面，求與四面體ABCD的四個頂點距離都相等的平面有多少個?111.3.25補充
與四面體\(ABCD\)的四個頂點等距離的平面共有[u] [/u]個。
(89高中數學能力競賽第一區筆試二) [size=3]空間中，A, B, C, D 不共面，求與四面體 ABCD 的四個頂點距離都相等的平面有多少個?[/size]
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[size=3]先思考基本要素:[/size]
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[size=3]空間中，與平面 E 距離 = d (d > 0) 的所有點，形成 2 個平面 E[size=1]1[/size] 與 E[size=1]2[/size]。 E[size=1]1[/size] ，E[size=1]2 [/size]與 E 平行，位於 E 的相異側，且與 E 距離 = d。[/size]
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[size=3]進而，若點 A, B 與平面 E 距離 = d 且位於 E 的相同側，則向量 AB 垂直 E 的法向量; 而若 A, B 位於 E 的相異側，則 E 過 A, B 的中點。[/size]
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[size=3]以下考慮與不共面四點 A, B, C, D 距離都相等的平面 E 的個數，依照四點在 E 的同異側，分為 (4, 0)，(3,1)，(2,2) 三種情形 (顯然 A, B, C, D 皆不在 E 上)。[/size]
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[size=3]case 1: (4, 0) 則 A, B, C, D 共面，不合。[/size]
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[size=3][size=3]case 2: (3, 1) 如: {A, B, C} 與 {D} ，則 E 平行 A, B, C 所決定的平面 ( A, B, C 必不共線)，且過 A, D 的中點，故 E 恰有 1 個。由於本類有 4 種分組方式，故 (3, 1) 類共有 [color=red]4[/color] 個平面E。[/size]
case 3: (2, 2) 如: {A, B} 與 {C, D} ，則 E 的法向量垂直向量 AB 與向量 CD (向量 AB 與向量 CD 必不平行)，且過 A, C 的中點，故 E 恰有 1 個。由於本類有 3 種分組方式，故 (2, 2) 類共有[color=red] 3[/color] 個平面E。
綜上，所求平面共有[color=red] 7[/color] 個。
(類似地，平面上，與不共線三點等距的直線共 3 條)
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高二數學
與四面體四頂點等距的平面有7個哪位高手幫忙 解說
多~謝
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正四面體?平面兩側分別為1，3個頂點:4個
過兩對邊歪斜線 兩側各兩個:3個
回復 1# jmath2021 的帖子
參考 cefepime 老師的說明[url]https://math.pro/db/thread-2352-1-1.html[/url] 是一般的四面體
多謝
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