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Lingling02 發表於 2015-9-9 23:47

[請教]空間中,求和四面體ABCD的四頂點等距的平面有多少個?

]空間中,ABCD不共面,求與四面體ABCD的四個頂點距離都相等的平面有多少個?

cefepime 發表於 2015-9-11 22:09

[size=3]空間中,A, B, C, D 不共面,求與四面體 ABCD 的四個頂點距離都相等的平面有多少個?[/size]
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[size=3]先思考基本要素:[/size]
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[size=3]空間中,與平面 E 距離 = d (d > 0) 的所有點,形成 2 個平面 E[size=1]1[/size] 與 E[size=1]2[/size]。  E[size=1]1[/size] ,E[size=1]2 [/size]與 E 平行,位於 E 的相異側,且與 E 距離 = d。[/size]
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[size=3]進而,若點 A, B 與平面 E 距離 = d 且位於 E 的相同側,則向量 AB 垂直 E 的法向量; 而若 A, B 位於 E 的相異側,則 E 過 A, B 的中點。[/size]
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[size=3]以下考慮與不共面四點 A, B, C, D 距離都相等的平面 E 的個數,依照四點在 E 的同異側,分為 (4, 0),(3,1),(2,2) 三種情形 (顯然 A, B, C, D 皆不在 E 上)。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]case 1:  (4, 0) 則 A, B, C, D 共面,不合。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=3]case 2:  (3, 1) 如: {A, B, C} 與 {D} ,則 E 平行 A, B, C 所決定的平面 ( A, B, C 必不共線),且過 A, D 的中點,故 E 恰有 1 個。由於本類有 4 種分組方式,故 (3, 1) 類共有 [color=red]4[/color] 個平面E。[/size]

case 3:  (2, 2) 如: {A, B} 與 {C, D} ,則 E 的法向量垂直向量 AB 與向量 CD (向量 AB 與向量 CD 必不平行),且過 A, C 的中點,故 E 恰有 1 個。由於本類有 3 種分組方式,故 (2, 2) 類共有[color=red] 3[/color] 個平面E。

綜上,所求平面共有[color=red] 7[/color] 個。

(類似地,平面上,與不共線三點等距的直線共 3 條)


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