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kggj5220 發表於 2015-9-3 14:15

2012青少年數學國際城市邀請賽

想請問最後兩題，計算2,3
計算2我算到899，但是錯的，解答是54  ><
計算3還無想到...
感謝各位老師

thepiano 發表於 2015-9-3 17:39

計算證明題第2題
設正整數\(m\)和\(n\)滿足\(n^2<8m<n^2+60(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)，請問\(n\)的最大值是多少？
[解答]
完全平方數除以8的餘數只能是0或1或4
故\(60\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)\)必須要大於4，才可能使\({{n}^{2}}\)和\({{n}^{2}}+60\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)\)之間存在8的倍數
\(\begin{align}
  & 60\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)>4 \\
& 15>\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n} \\
& n<56.25 \\
\end{align}\)
再驗證\(n=56\)和\(n=55\)不合及\(n=54,m=365\)符合所求即可

kggj5220 發表於 2015-9-3 18:08

感謝鋼琴老師

[color=Red]完全平方數除以8的餘數只能是0或1或4[/color]，原來關鍵在這
我就是直接看成\( 60\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)\) > 1 ，才算出899的...
我懂了謝謝老師!!

thepiano 發表於 2015-9-3 20:58

計算證明題第3題
在\(\Delta ABC\)中，\(∠A=90^{\circ}\)且\(∠B=20^{\circ}\)。點\(E\)和\(F\)分別在\(AC\)和\(AB\)上使得\(∠ABE=10^{\circ}\)和\(∠ACF=30^{\circ}\)，如下圖所示。請問\(∠CFE\)的度數是多少？
[解答]
作 ∠BCF 的平分線 CD 交 BF 於 D
作 DG 垂直 BC 於 G
易知 GB = GC
AF/DF = (1/2)CF/DF = (1/2)CB/DB = GB/DB = AB/CB = AE/CE
EF 平行 CD
∠CFE = ∠FCD = 20 度

kggj5220 發表於 2015-9-4 09:25

繞了好久才證出來平行(三角形比例、角平分線、相似形、角平分線)
瞭解了~感謝皮大!!

agan325 發表於 2015-9-4 10:43

回復 4# thepiano 的帖子

鋼琴老師，想問相似形是哪兩個三角型相似
還有AF/DF = (1/2)CF/DF = (1/2)CB/DB = GB/DB = AB/CB = AE/CE
                       ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^  我真的想不出來
請老師提點一下，多謝老師

thepiano 發表於 2015-9-4 12:23

回復 6# agan325 的帖子

CF/DF = CB/DB，這是內分比定理

kggj5220 發表於 2015-9-4 13:16

回復 6# agan325 的帖子

相似的是這段\(\displaystyle \frac{\overline{GB}}{\overline{DB}}= \frac{\overline{AB}}{\overline{CB}} \)
所對應的是 \(\Delta ABC \sim\Delta GBD\)

agan325 發表於 2015-9-4 16:58

回復 6# agan325 的帖子

多謝鋼琴老師和kggj5220老師的提點，要多利用對角線性質  感謝!~~~~

valkyriea 發表於 2015-9-7 12:54

請問不超過20112012且只用到數碼0、1或2的正整數共有多少個？

題充7的答案有誤，我算4756

thepiano 發表於 2015-9-7 17:34

回復 10# valkyriea 的帖子

有包括 20112012，所以答案是 4757

valkyriea 發表於 2015-9-8 14:40

回復 11# thepiano 的帖子

又粗心了

感謝鋼琴老師指正

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