104羅東高中第一次教甄
104羅東高中第一次教甄部分試題抱歉，有打錯，已更正！！ 想請問6和7怎麼做??
謝謝~
回復 2# litlesweetx 的帖子
在\(xy\)平面上，以拋物線\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\)上的點\(P(a,b)\)為中心，作與\(y=-1\)相切的圓\(C\)，且記切點為\(M\)。設\(a>2\)，圓\(C\)與\(y\)軸相交於兩點\(H\)與\(L\)(\(L\)較\(H\)靠近原點)。扇形\(PLM\)(中心角較小的那一個)的面積記為\(S(a)\)，三角形\(\Delta PHL\)的面積記為\(T(a)\)，求\(\displaystyle \lim_{a\to \infty}\frac{T(a)}{S(a)}\)。[解答]
只想到這方法！
設\(\displaystyle P(t,\frac{1}{4}t^2),t>2\)
\(\displaystyle (x-t)^2+(y-\frac{1}{4}t^2)^2=(\frac{1}{4}t^2+1)^2\)
令\(x=0\)
\(\displaystyle t^2+(y-\frac{1}{4}t^2)^2=\frac{1}{16}t^4+\frac{1}{2}t^2+1\)
\((y-\frac{1}{4}t^2)^2=\frac{1}{16}t^4-\frac{1}{2}t^2+1=(\frac{1}{4}t^2-1)^2\)
\(\displaystyle y-\frac{1}{4}t^2=\pm(\frac{1}{4}t^2-1)\)
\(y=1\)or\(\displaystyle \frac{1}{2}t^2-1\)
\(\displaystyle L(0,1),H(0,\frac{1}{2}t^2-1),M(t,-1)\)
\(T(a)=\frac{1}{2}|\;\left| \matrix{0&0&t&0\cr 1&\frac{1}{2}t^2-1&\frac{1}{4}t^2&1}\right| |\;=\frac{1}{2}\left|\ -\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t\right|\)
\(S(a)=\frac{1}{2}|\;\left| \matrix{0&t&t&0\cr 1&-1&\frac{1}{4}t^2&1} \right| |\;=\frac{1}{2}\left|-\frac{1}{4}t^3-t \right|\)
\(\displaystyle \lim_{a \to \infty}\frac{T(a)}{S(a)}=\lim_{t\to \infty}\left| \frac{-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t}{-\frac{1}{4}t^3-t} \right|=2\) 可是s(a)不是扇形嗎??可是直接忽略嗎?? 當移動到無窮遠處時(θ趨近sinθ)，扇形面積可視為三角形面積
回復 2# litlesweetx 的帖子
探討一道旋轉體體積的命題、解題與成題[url]http://rportal.lib.ntnu.edu.tw:8080/server/api/core/bitstreams/0044f83e-bed2-4d31-a16f-b102671a1108/content[/url]
第7題可參考上列網址是用papus定理算出(請全部圈選貼上網址)
另想請教第2和第4題
105.12.3版主修正連結
111.6.20版主修正連結
回復 6# eyeready 的帖子
第4題\(n\in N,a \in N,n\ge 3,0<a<10^n\)且\(10^{n+1}+a\)被\(10^n+a\)整除，試求\(a\)值。
[解答]
\(\left( {{10}^{n}}+a \right)\left| \left( {{10}^{n+1}}+a \right) \right.\)
令\({{10}^{n+1}}+a=k\left( {{10}^{n}}+a \right)\)，\(k=2,3,4,\cdots ,9\)
一一檢驗可知
\(\begin{align}
& k=6,a=\frac{4}{5}\times {{10}^{n}} \\
& k=7,a=\frac{1}{2}\times {{10}^{n}} \\
& k=9,a=\frac{1}{8}\times {{10}^{n}} \\
\end{align}\)
回復 6# eyeready 的帖子
第2題\(n\in N\)，試解出方程式\((x+1)^n=x^n\)的所有根。(請化簡到最簡形式\(a+bi\)，其中\(a,b\in R\))
[解答]
\(\begin{align}
& {{\left( x+1 \right)}^{n}}={{x}^{n}} \\
& {{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{n}}=1 \\
& 1+\frac{1}{x}=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}\ ,\ k=0,1,2,\cdots ,n-1 \\
& x=\frac{1}{\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}-1}\ ,\ k=1,2,\cdots ,n-1 \\
& =\frac{\left( \cos \frac{2k\pi }{n}-1 \right)-i\sin \frac{2k\pi }{n}}{2-2\cos \frac{2k\pi }{n}} \\
& =-\frac{1}{2}-\frac{\sin \frac{2k\pi }{n}}{2-2\cos \frac{2k\pi }{n}}i \\
\end{align}\)
回復 8# thepiano 的帖子
令人欽佩，感謝鋼琴老師！ 這一份真的寫到懷疑人生附上小弟算出的答案 還請各位先進指教指正
感覺會有很多錯誤 PS.前面幾樓的幾位老師回答的題目答案，也順便寫在這樓，方便參考
1.\(\displaystyle (\sqrt{5}+1)R \)，\(\angle{BAC}=cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}\)
2.\(2\sqrt{3}-2\)
3.Max:\(2\sqrt{3}\) min:4
4.\(\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)
5.(2) 5
6.2
7. (1) \(\displaystyle P(X_n=k)=\frac{k}{4}P(X_{n-1}=k)+\frac{5-k}{4}P(X_{n-1}=k-1 )\)
(2)\(\displaystyle \frac{781}{256} \)
(3)\(\displaystyle \frac{4^n-3^n}{4^{n-1}}\)
8.\(\displaystyle a=\frac{1}{8}\times 10^n,\frac{1}{2}\times 10^n,\frac{4}{5}\times 10^n \)
9.\(\displaystyle \sqrt{3} \)
10.\(18\pi \)
11.\(\displaystyle-\frac{1}{2}-\frac{\sin \frac{2k\pi }{n}}{2-2\cos \frac{2k\pi }{n}}i \)
12.\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{60}\pi \)
13.\(\displaystyle\frac{4}{e}\)
14.\(\displaystyle\frac{9}{2}\)
15.\(\displaystyle\frac{8}{315}\) 3.應該沒有最大值，最小值是2根號3
9.我算根號3(負的不合，a>0)
10.10兀/3
12.兀/60
想請問這幾題，與樓上有點出入
回復 11# shihqua 的帖子
第 3 題題目應把 x > 0，y > 0 改成 x ≧ 0，y ≧ 0，否則取不到最大值
第 9 題
小弟也是算 √3
第 10 題
您算成交集部份的體積了
第 12 題
上一頁 eyeready 老師有分享陳昭地教授的文章
探討一道旋轉體體積的命題、解題與成題
[url]http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/100(336-345)/336-PDF/03-100005-%E6%8E%A2%E8%A8%8E%E4%B8%80%E9%81%93%E6%97%8B%E8%BD%89%E9%AB%94%E7%A9%8D%E7%9A%84%E5%91%BD%E9%A1%8C%E8%A7%A3%E9%A1%8C%E8%88%87%E6%88%90%E9%A1%8C(%E6%9C%88%E5%88%8A).pdf[/url]
答案是 (√2 / 60)π 抱歉 小弟筆誤 第9題的確是\(\displaystyle \sqrt{3}\)
(今天複習101台南二中有一模一樣的題目)
第10題小弟是這樣算的 不知道對不對
依照題意可得\(\displaystyle \vec{OX}=(2a+1,2b,2c)\)，\(\displaystyle \vec{OY}=(2a-1,2b,2c)\)
令\(\displaystyle A=2a,B=2b,C=2c\)
可知在\(A-B-C\)坐標軸下的\(\displaystyle \vec{OX},\vec{OY}\)軌跡分別為兩個球包含其內部
\(\displaystyle C_1,C_2\)
\(\displaystyle C_1 : (A-1)^2+B^2+C^2\leq 4,C_2 : (A+1)^2+B^2+C^2\leq 4\)
可以算出其聯集的區域為\(\displaystyle 18\pi\)
接下來轉換回\(\ x-y-z \)坐標軸，可得在其座標軸上的聯集體積為\(\displaystyle \frac{9}{4}\pi\) [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2021-11-24 22:18 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23486&ptid=2333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 3 題
題目應把 x > 0，y > 0 改成 x ≧ 0，y ≧ 0，否則取不到最大值
第 9 題
小弟也是算 √3
第 10 題
您算成交集部份的體積了
第 12 題
上一頁 eyeready 老師有分享陳昭地教授的文章
探討一道旋轉體體積的命題、解 ... [/quote]
謝謝鋼琴老師，受益良多！ [quote]原帖由 [i]satsuki931000[/i] 於 2021-11-24 22:47 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23487&ptid=2333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
抱歉 小弟筆誤 第9題的確是\(\displaystyle \sqrt{3}\)
(今天複習101台南二中有一模一樣的題目)
第10題小弟是這樣算的 不知道對不對
依照題意可得\(\displaystyle \vec{OX}=(2a+1,2b,2c)\)，\(\displaystyle \vec{OY} ... [/quote]
恩恩，想請問為何要轉換回去呢?
回復 15# shihqua 的帖子
因為我是假設A=2a，B=2b，C=2c去看球的體積所以在A-B-C為座標軸的世界中求出的體積，要轉換回原本世界x-y-z的體積
我是這樣想的
回復 16# satsuki931000 的帖子
satsuki931000老師你好，可是您不是有使用一開始的條件去控制A,B,C嗎?回復 13# satsuki931000 的帖子
第 10 題不用轉換，答案是 18 π 昨天思考後，把它想成將球左右平移即可
回復 10# satsuki931000 的帖子
請教14&15題做法頁:
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