同餘的問題
若\(a=2^{101}+3^{101}+5^{101}\)，則下列敘述何者正確？(\(log2=0.3010\)，\(log3=0.4771\)，\(log7=0.8451\))(A)\(a\)的個位數字為0
(B)\(a\)必為3的倍數
(C)\(a\)除以9的餘數為7
(D)\(a\)為73位數
(E)\(a\)的最高位數字為8
可以問一下，c選項為什麼是對的嗎
謝謝 想辦法湊出有9的倍數的二項氏定理
2^101=2^5(2^6)^16=32(9*7+1)^16
除以9最後剩下32，所以餘數是5
3^101會被9整除
5^101依照相同作法會餘2
所以相加最後除以9餘7
平板打數學符號有點醜，請見諒。
[[i] 本帖最後由 pretext 於 2015-7-19 02:29 PM 編輯 [/i]]
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另解\(\begin{align}
& {{2}^{3}}\equiv -1\ \left( \bmod \ 9 \right) \\
& {{2}^{101}}={{2}^{2}}\times {{\left( {{2}^{3}} \right)}^{33}}\equiv 4\times {{\left( -1 \right)}^{33}}\equiv -4\equiv 5\ \left( \bmod \ 9 \right) \\
& \\
& {{3}^{101}}\equiv 0\ \left( \bmod \ 9 \right) \\
& \\
& {{5}^{3}}\equiv -1\ \left( \bmod \ 9 \right) \\
& {{5}^{101}}={{5}^{2}}\times {{\left( {{5}^{3}} \right)}^{33}}\equiv 7\times {{\left( -1 \right)}^{33}}\equiv -7\equiv 2\ \left( \bmod \ 9 \right) \\
& \\
& {{2}^{101}}+{{3}^{101}}+{{5}^{101}}\equiv 5+0+2\equiv 7\ \left( \bmod \ 9 \right) \\
\end{align}\) 謝謝pretext老師 還有鋼琴老師 我懂了
謝謝
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