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三個方法解決所有問題的方法:接受,改變,放開。
   不能接受,那就改變,不能改變,那就放開。

weiye 發表於 2007-7-30 03:02

例題:矩陣,馬可夫鏈

[quote]一隻螞蟻站在一正四面體的一頂點A上,若螞蟻到其他三頂點B、
C、D的機率均為1/3,且到其他頂點的時間都為一分鐘,求六十分
鐘後回到原頂點A的機率為多少?[/quote]


經過 n 分鐘之後,在 A,B,C,D 各點的機率如下:

[img]http://img409.imageshack.us/img409/427/matrixee5.jpg[/img]

馬可夫鏈 + Mathematica幫我偷懶:P

理論作法簡述:利用 eigenvalue 與 eigenvector把推移矩陣 A 化成 P^-1 * D*P  其中 D 為對角化矩陣,

則可方便求出 A^n = P^-1 * D^n * P。

可以參考大學線性代數的課本。





另解,高中排列組合與機率的作法,

□□□‧‧‧□□□

n 個框框兩兩相臨,用 A,B,C,D 四色塗之,相鄰塗異色,

且已知第一個與最後一個框框均為 A ,試求塗法有幾種?

設 n 個框框時,塗法有 f(n) 種,

則 f(3)=3, f(n)=3^(n-2)-f(n-1) ,故

f(n) = 3^(n-2) - 3^(n-3) + 3^(n-4) - ... + (-1)^(n-3)*3 = (等比級數求和公式帶入) = (3^(n-1)-3*(-1)^n) / 4





原題目所求 A,B,C,D 四點間移動 n 次後,回到 A 點之機率

= n+1 個框框兩兩相臨,用 A,B,C,D 四色塗之,相鄰塗異色,且已知第一個框為 A ,則最後一個框框亦為 A 之機率

= f(n+1) / 3^n

=(3^n-3*(-1)^(n+1)) / 4*3^n

=(1+(-1)^n * 3^(1-n)) / 4




當然除了看成是塗色,也可以看成是四個人(A,B,C,D)在傳球,由 A 開始互傳,傳了 n 次之後,球回到 A 手上的機率。


原題目來自: [url=http://www.student.tw/db/showthread.php?t=116877]http://www.student.tw/db/showthread.php?t=116877[/url]

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