104新豐高中
求解不等式: \( \displaystyle [x]>\frac{1}{2}x^2+x-\frac{2}{3} \)104新豐
一圓柱體底面直徑4,一平面切圓柱,通過底面直徑並與底面夾45度,求所切下的體積 1. a1,a2,...,an是相異的自然數,證明:1/a1^2+1/a2^2+...+1/an^2 <22. 已知L1,L2,L3是三平行線,L1,L2相距a,L2,L3相距b,在L1,L2,L3取三點PQR,使得PQR為正三角形,求面積
3. 已知F為拋物線焦點,PQ為焦弦,MN為正焦弦,證明: PQ>=MN
4. 四面體O-ABC,OA=OB=OC=3,角BAC=90度,BC=2,求四面體O-ABC的最大體積
5. 已知X是複數,5X^4+10X^3+10X^2+5X+1=0,證明:X的實部恆等於-1/2
6. (6,2),(4,4)(3,2),(3,4),利用最小平方法求最適合的直線
複試分數為52分
原本第5題，題目是要證明，\(x\)的實部是\( \displaystyle \frac{1}{2} \)。題目出錯了！但沒公布題目，也無從申訴。回復 4# son249 的帖子
# 3 樓所 po 的5，解出來 x 的實部的確是 \( -\frac12 \)wolframalpha solve \(5x^4+10x^3+10x^2+5x+1=0\)
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+5x^4%2B10x^3%2B10x^2%2B5x%2B1%3D0[/url]
感謝寸絲老師的檢驗
可以請寸絲老師或其他高手幫我算圓柱體那一題嗎?只剩那一題不會了!回復 6# son249 的帖子
圓柱體這題 101彰化高中、中和高中，102北市陽明高中，103武陵高中都考過所求為平面\(z=x\)與圓柱\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{2}}\)及\(z=0\)所圍成的區域的上半部
其縱切面是等腰直角三角形
底=高=\(\sqrt{{{2}^{2}}-{{y}^{2}}}\)，面積為\(\displaystyle \frac{4-{{y}^{2}}}{2}\)
體積\( \displaystyle =\int_{-2}^{2}{\frac{4-{{y}^{2}}}{2}dy=}\left( 2y-\frac{1}{6}{{y}^{3}} \right)\left| \begin{matrix}
2 \\
-2 \\
\end{matrix} \right.=\frac{16}{3}\)
太帥了！一看就懂，感謝鋼琴師
如標題，再次感謝！ 可以請問高斯那題，和1、2、4的解法嗎？1、2我知道是考古題，但找不到，可提供方向嗎？謝謝各位回復 9# matric0830 的帖子
第1題\( \displaystyle \frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}\le \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}}<2-\frac{1}{n}<2\)
可用數學歸納法
第2題
[url]https://math.pro/db/thread-1399-1-1.html[/url]
第4題
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=13268#p13268[/url]
另一題不等式
設\(x=a+b,a\in z,0\le b<1\)代入去解，先解出b的範圍，再找出a值...
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2015-6-25 11:05 AM 編輯 [/i]]
回復 9# matric0830 的帖子
第1題這樣證，簡捷一些
\(\begin{align}
& \frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}} \\
& \le \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \\
& <1+\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{\left( n-1 \right)\times n} \\
& =1+\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\cdots +\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right) \\
& =2-\frac{1}{n} \\
& <2 \\
\end{align}\)
回復 10# thepiano 的帖子
高斯那題不等式設\(x=a+b \)會變成\(3a^2+(6b) a +(3b^2+6b-4) < 0\)
可是這樣開口向上不可能恆負？
這樣該如何用判別式呢？
回復 5# tsusy 的帖子
順道請益第五題我把方程式看作\( (x+1)^5 = x^5 \)
然後用極式假設\(x=r(cos t +i sin t) \)下去進行運算
答案不知怎麼解出\(t\)
如果假設\(a+bi \)
展開比較係數又很多交叉項也不知如何解
以上請教各老師大家的方法？
回復 13# leo790124 的帖子
高斯那題\(\begin{align}
& 3{{b}^{2}}+6\left( a+1 \right)b+\left( 3{{a}^{2}}-4 \right)<0 \\
& -a-1-\frac{\sqrt{18a+21}}{3}<b<-a-1+\frac{\sqrt{18a+21}}{3} \\
& \\
& 0\le b<-a-1+\frac{\sqrt{18a+21}}{3} \\
& a+1<\frac{\sqrt{18a+21}}{3} \\
& a=-1,0,1 \\
& ... \\
\end{align}\)
第5題
可令\(x=y-\frac{1}{2}\)代入原方程，可整理成\(80{{y}^{4}}+40{{y}^{2}}+1=0\) [size=3]第 5 題是否可以這樣: (借用一下 leo790124 老師 的巧思)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]已知 x 是複數，5x[size=4]⁴[/size] + 10x[size=4]³[/size] + 10x[size=4]²[/size] + 5x + 1 = 0，證明: x 的實部恆等於 -1/2。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]解: 原式的係數極似 (a + b)[size=5]⁵[/size] 展開後的係數 (1,5,10,10,5,1)，因此與之聯想，將原式"補全"，化為:[/size]
[size=3][/size]
[size=3](x + 1)[size=4][size=5]⁵[/size][size=3]= x[/size][size=5]⁵[/size] [/size][/size]
[size=3]上式的"還原現象"，不難想到絕對值 (或者說，由於 x+1 與 x 皆為某數的 5 次方根，因此它們絕對值相等):[/size]
[size=3][/size]
[size=3]| (x + 1)[size=4][size=5]⁵[/size][size=3]|[/size] [size=3]= | x[/size][size=4][size=5]⁵[/size][size=3]|[/size] [/size][/size][/size]
[size=4][/size]
[size=3]| x + 1 |[size=4][size=5]⁵[/size][size=3]= | x |[/size][/size][/size][size=5]⁵[/size]
[size=4][/size]
[size=3]| x + 1 [size=4][size=3]|[/size] [/size][size=4][size=3]= | x |[/size][size=4] [/size][size=3](絕對值是實數)[/size][/size][/size]
[size=3]至此用圖解就很簡明了，或令 x = a + bi 代入 (a, b ∈ R)[/size]
[size=3]| (a +1) + bi | = | a + bi |[/size]
[size=3][/size]
[size=3](a +1)[size=4]²[/size] + b[size=4]²[/size] = a[size=4]²[/size] + b[size=4]²[/size] [/size]
[size=3][/size]
[size=3]a = [color=red]- 1/2[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]引申: [/size]
[size=3]若複數 Z 滿足 ( Z + k ) ⁿ = Z ⁿ，0 ≠ k ∈ R，n ∈ N[/size]
[size=3]則 R (Z) = - k / 2[/size]
[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2015-6-29 03:27 PM 編輯 [/i]]
回復 15# cefepime 的帖子
謝謝cefepime老師和鋼琴師豁然開朗!!
回復 5# tsusy 的帖子
可以跟寸絲老師問一下 這題要如何下手我有想過令x=r(cosa+isina)去做但做不下去
你的連結我有去看 確定是-1/2但沒說解法
可以求詳解嗎?
謝謝
回復 17# whzzthr 的帖子
#15 樓不是已經證完了嗎？如果不用絕對值的話，可以改寫如下
\( {\color{red}x^{5}}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1={\color{red}x^{5}} \)
\( \Rightarrow (x+1)^5 = x^5 \)，
易驗 \( x=0 \) 不是解，故 \( (1+\frac1x)^5 = 1 \Rightarrow 1+\frac1x \) 為 1 的 5 次方根
令 \( 1 + \frac1x = \cos \theta + i \sin \theta \)，則 \( \displaystyle x = \frac{1}{\cos\theta-1+i\sin\theta} = \frac{\cos\theta-1-i\sin\theta}{\cos^{2}\theta-2\cos\theta+1 + \sin^{2}\theta}=\frac{\cos\theta-1-i\sin\theta}{2 -2\cos\theta} \)
故 \( x \) 的實部為 \( \displaystyle \frac{\cos\theta-1}{2 - 2\cos\theta} = -\frac12 \)
回復 18# tsusy 的帖子
我有看完第一面 可能沒看到他還有第2面我下次會改進 不好意思
因為我有去現場 所以想了解卡在哪
謝謝寸斯老師的詳解
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