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A man becomes learned by asking questions.
人的學問,由好問而來。

瓜農自足 發表於 2015-6-20 02:30

104高雄市聯招

因為心血來潮想複習Latex,跟朋友使用texmaker摸索許久,僅供參考~!

thepiano解題
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=4225[/url]

bugmens 發表於 2015-6-20 08:55

1.
求所有滿足\( (m+n)^m=n^m+1413 \)的所有正整數\( m,n \)。

滿足\( (m+n)^n =m^n+2012 \)之所有正整數數對\( (m,n) \)為。
連結有解答
(101文華高中,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1462&page=4#pid12726[/url])

7.
如圖所示,扇形\( AOB \)之圓心角\( ∠AOB=60^{\circ} \),半徑\( \overline{AB}=1 \),則內接\( PQRS \)(\( P,Q \)在圓弧\( AB \)上)之最大面積為。


8.
隨意將編號1至7的七張卡片排成一列,恰有三張卡片所排的順序與它的編號相同的機率為。
連結有解答
(95台灣師大 推薦甄選入學,[url]http://www.lungteng.com.tw/LungTengNet/HtmlMemberArea/publish/Math/003/5%BA%C2%BF%EF%B8%D5%C3D.doc[/url])

12.
將與2015互質的正整數由小到大排列,則第2015個數為。

將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列,則此數列第2014項為?
連結有答案
(103桃園高中,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=1#pid10251[/url])

cathy80609 發表於 2015-6-21 23:30

第三題

拋磚引玉,小弟先來獻醜了。

這一次去寫還是有一些題目沒辦法在第一時間內想到,

一開始看到第三題就先跳過,最後再回來寫,發現應該不難,但是寫到一半就打鐘了...

於是回來就把題目都補算過一遍!!

如有錯誤敬請板上各位大大指正,謝謝。

3.
已知直角\(\Delta ABC\)的兩股邊長分別為\(a,b\),\(\displaystyle sinA=\frac{1}{2}\sqrt{a^{1-log_a b}}\),試證明:\(log(a+b)-log \sqrt{6}=\frac{1}{2}(log a+log b)\)
[解答]
由正弦定理\(\displaystyle \frac{a}{sinA}=\frac{a}{\frac{1}{2}\sqrt{a^{1-log_a b}}}=\frac{2a}{\sqrt{\frac{a}{b}}}=2\sqrt{ab}=2R\)
因為\(\Delta ABC\)為直角三角形,故斜邊長為\(2\sqrt{ab}\)
由題意可列出\(\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{ab}\)
\(a^2+b^2=4ab\),故\((a+b)^2=6ab\)
經過開根號,移項,即為題目所求\(\displaystyle \frac{a+b}{\sqrt{6}}=\sqrt{ab}\)。

tuhunger 發表於 2015-6-23 00:48

第1,2題

如圖檔, 有錯請指教,感恩~
1.
求所有滿足\((m+n)^m=n^m+1413\)的所有正整數\(m,n\)。

2.
證明\(x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。

tuhunger 發表於 2015-6-23 01:23

第4,5題

4.
設\(x,y\)為實數,且\(x,y\)滿足條件\((x-2)^2+(y-2)^2=3\),則\(\displaystyle \frac{y}{x}\)之最小值[u]   [/u]。

5.
\(x \in R\),若\(f(x)=x^3+ax^2+bx+5\)在\(x=1\)時有極小值為2,則\(f(x)\)的極大值為[u]   [/u]。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

tuhunger 發表於 2015-6-23 01:44

第6題

6.
四邊形\(ABCD\),對角線\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)交於\(P\)點,若\(\Delta ABP\)的三邊長為\(5,6,7\),且\(\vec{AC}=2\vec{AB}+3\vec{AD}\),求四邊形\(ABCD\)的面積為[u]   [/u]。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

tuhunger 發表於 2015-6-23 02:06

第7題

7.
扇形\(AOB\)之圓心角\(∠AOB=60^{\circ}\),半徑\(\overline{OA}=1\),則內接矩形\(PQRS\)(\(R,Q\)在圓弧\(AB\)上)之最大面積為[u]   [/u]。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

tuhunger 發表於 2015-6-23 08:05

第8,9題

8.
隨意將編號1至7的七張卡片排成一列,恰有三張卡片所排的順序與它的編號號相同的機率為[u]   [/u]。

9.
試求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n^2}\left[\sqrt{4n^2-1^2}+\sqrt{4n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2} \right]=\)[u]   [/u]。

112.5.29補充
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{4n^2}(\sqrt{4n^2-1}+\sqrt{4n^2-4}+\sqrt{4n^2-9}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2})=\)
(112高雄市高中聯招,[url]https://math.pro/db/thread-3751-1-1.html[/url])

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

homepage 發表於 2015-6-23 16:40

關於第九題

根據第九題只有n個數字
所以那個1/2應該提出來使得最後的答案還要*1/2?

larson 發表於 2015-6-23 17:38

回復 4# tuhunger 的帖子

第2題出處,嚴鎮軍,初中數學競賽教程
第13~14頁,不需要微分即可說明清楚

cathy80609 發表於 2015-6-23 17:48

回復 9# homepage 的帖子

這一題是切成 2n等份唷!

[[i] 本帖最後由 cathy80609 於 2015-6-23 05:58 PM 編輯 [/i]]

homepage 發表於 2015-6-23 18:04

可是裡面的切割部分只切了N份啊?從1/2n~n/2n

thepiano 發表於 2015-6-23 19:46

回復 12# homepage 的帖子

是切 n 等分沒錯,只有積到 1/2

peter0210 發表於 2015-6-23 19:47

想請教最後一題
有沒有什麼計算比較簡便的方法呢

小弟 算了好幾次 都算不出正確的答案

cathy80609 發表於 2015-6-23 20:05

回復 12# homepage 的帖子

不好意思,是我錯了!!

請問鋼琴老師,是把0~1/2切成n等分這樣子對嗎??

thepiano 發表於 2015-6-23 20:45

[quote]原帖由 [i]cathy80609[/i] 於 2015-6-23 08:05 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13721&ptid=2290][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
是把0~1/2切成n等分這樣子對嗎?? [/quote]

cefepime 發表於 2015-6-23 22:12

[size=3]2. 證明 [size=5][size=4]x[/size]⁸ - [size=4]x[/size]⁵ [size=4]+[/size] [size=4]x[/size]² [size=4]+ x + 1[/size] [/size][size=4]= 0[/size] 沒有實根。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]這個題目的係數有"投機取巧"的方法 :[/size]
[size=3][/size]
[size=3]i. 當 |[size=4]x[/size]| ≥ 1,原式左 = ( [size=4]x[/size][size=5]⁸- [/size][size=4]x[size=5]⁵[/size][/size][size=4][size=3]) [/size]+[/size][size=5] [/size][size=3]([/size][size=4]x[/size][size=5]² [/size][size=4]+ x) + 1[/size][/size] [size=4]≥ 0 + 0 + 1 > 0[/size]
[size=4][/size]
[size=4][size=3]ii.[/size] [size=3]當[/size] [size=3]|[/size][size=4]x[/size][size=3]|[/size] [size=3]< 1[/size],[size=3]原式左 =[/size] [size=3]([/size]1 +[size=5] [/size][size=4]x [/size][size=4][size=3]) [/size]+[/size][size=5] [/size][size=3]([/size][size=4]x[/size][size=5]² [size=5]- [/size][size=4]x[size=5]⁵[/size][/size][/size][size=4][size=3])[/size] + x[size=5]⁸[/size][/size][size=4]> 0 + 0 + 0 = 0[/size][/size]
[size=4][/size]
[size=3]得證。[/size]

109.5.30補充
證明\(f(x)=x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。
(109高雄市高中聯招,[url]https://math.pro/db/thread-3338-1-1.html[/url])

110.2.27補充
對於實數\(x\),求證\(\displaystyle x^8-x+\frac{3}{4}\)恆大於0。
(建中通訊解題第145期)

homepage 發表於 2015-6-23 22:33

所以第九題的答案應該是 1/24 + 根號3/16?

thepiano 發表於 2015-6-23 22:48

回復 18# homepage 的帖子

第 9 題
阿基鴻德 兄的答案是正確的

g112 發表於 2015-6-23 22:49

想請問一下13和15題

13題邊長是根號98,所以把98拆成3個整數的平方和然後討論
除了這方法外有沒有其他方法

15題
除了硬算外有其他方法嗎?

頁: [1] 2

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