104高雄市聯招
因為心血來潮想複習Latex，跟朋友使用texmaker摸索許久，僅供參考~!thepiano解題
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=4225[/url] 1.
求所有滿足\( (m+n)^m=n^m+1413 \)的所有正整數\( m,n \)。
滿足\( (m+n)^n =m^n+2012 \)之所有正整數數對\( (m,n) \)為。
連結有解答
(101文華高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1462&page=4#pid12726[/url])
7.
如圖所示，扇形\( AOB \)之圓心角\( ∠AOB=60^{\circ} \)，半徑\( \overline{AB}=1 \)，則內接\( PQRS \)(\( P,Q \)在圓弧\( AB \)上)之最大面積為。
8.
隨意將編號1至7的七張卡片排成一列，恰有三張卡片所排的順序與它的編號相同的機率為。
連結有解答
(95台灣師大 推薦甄選入學，[url]http://www.lungteng.com.tw/LungTengNet/HtmlMemberArea/publish/Math/003/5%BA%C2%BF%EF%B8%D5%C3D.doc[/url])
12.
將與2015互質的正整數由小到大排列，則第2015個數為。
將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列第2014項為？
連結有答案
(103桃園高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=1#pid10251[/url]) 第三題
拋磚引玉，小弟先來獻醜了。
這一次去寫還是有一些題目沒辦法在第一時間內想到，
一開始看到第三題就先跳過，最後再回來寫，發現應該不難，但是寫到一半就打鐘了...
於是回來就把題目都補算過一遍!!
如有錯誤敬請板上各位大大指正，謝謝。
3.
已知直角\(\Delta ABC\)的兩股邊長分別為\(a,b\)，\(\displaystyle sinA=\frac{1}{2}\sqrt{a^{1-log_a b}}\)，試證明：\(log(a+b)-log \sqrt{6}=\frac{1}{2}(log a+log b)\)
[解答]
由正弦定理\(\displaystyle \frac{a}{sinA}=\frac{a}{\frac{1}{2}\sqrt{a^{1-log_a b}}}=\frac{2a}{\sqrt{\frac{a}{b}}}=2\sqrt{ab}=2R\)
因為\(\Delta ABC\)為直角三角形，故斜邊長為\(2\sqrt{ab}\)
由題意可列出\(\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{ab}\)
\(a^2+b^2=4ab\)，故\((a+b)^2=6ab\)
經過開根號，移項，即為題目所求\(\displaystyle \frac{a+b}{\sqrt{6}}=\sqrt{ab}\)。
第1,2題
如圖檔, 有錯請指教,感恩~1.
求所有滿足\((m+n)^m=n^m+1413\)的所有正整數\(m,n\)。
2.
證明\(x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。
第4,5題
4.設\(x,y\)為實數，且\(x,y\)滿足條件\((x-2)^2+(y-2)^2=3\)，則\(\displaystyle \frac{y}{x}\)之最小值[u] [/u]。
5.
\(x \in R\)，若\(f(x)=x^3+ax^2+bx+5\)在\(x=1\)時有極小值為2，則\(f(x)\)的極大值為[u] [/u]。
如圖檔, 有錯請指教,感恩~
第6題
6.四邊形\(ABCD\)，對角線\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)交於\(P\)點，若\(\Delta ABP\)的三邊長為\(5,6,7\)，且\(\vec{AC}=2\vec{AB}+3\vec{AD}\)，求四邊形\(ABCD\)的面積為[u] [/u]。
如圖檔, 有錯請指教,感恩~
第7題
7.扇形\(AOB\)之圓心角\(∠AOB=60^{\circ}\)，半徑\(\overline{OA}=1\)，則內接矩形\(PQRS\)(\(R,Q\)在圓弧\(AB\)上)之最大面積為[u] [/u]。
如圖檔, 有錯請指教,感恩~
第8,9題
8.隨意將編號1至7的七張卡片排成一列，恰有三張卡片所排的順序與它的編號號相同的機率為[u] [/u]。
9.
試求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n^2}\left[\sqrt{4n^2-1^2}+\sqrt{4n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2} \right]=\)[u] [/u]。
112.5.29補充
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{4n^2}(\sqrt{4n^2-1}+\sqrt{4n^2-4}+\sqrt{4n^2-9}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2})=\)
(112高雄市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3751-1-1.html[/url])
如圖檔, 有錯請指教,感恩~
關於第九題
根據第九題只有n個數字所以那個1/2應該提出來使得最後的答案還要*1/2？
回復 4# tuhunger 的帖子
第2題出處，嚴鎮軍，初中數學競賽教程第13~14頁，不需要微分即可說明清楚
回復 9# homepage 的帖子
這一題是切成 2n等份唷![[i] 本帖最後由 cathy80609 於 2015-6-23 05:58 PM 編輯 [/i]] 可是裡面的切割部分只切了N份啊？從1/2n~n/2n
回復 12# homepage 的帖子
是切 n 等分沒錯，只有積到 1/2 想請教最後一題有沒有什麼計算比較簡便的方法呢
小弟 算了好幾次 都算不出正確的答案
回復 12# homepage 的帖子
不好意思，是我錯了!!請問鋼琴老師，是把0~1/2切成n等分這樣子對嗎?? [quote]原帖由 [i]cathy80609[/i] 於 2015-6-23 08:05 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13721&ptid=2290][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
是把0~1/2切成n等分這樣子對嗎?? [/quote]
對 [size=3]2. 證明 [size=5][size=4]x[/size]⁸ - [size=4]x[/size]⁵ [size=4]+[/size] [size=4]x[/size]² [size=4]+ x + 1[/size] [/size][size=4]= 0[/size] 沒有實根。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]這個題目的係數有"投機取巧"的方法 :[/size]
[size=3][/size]
[size=3]i. 當 |[size=4]x[/size]| ≥ 1，原式左 = ( [size=4]x[/size][size=5]⁸- [/size][size=4]x[size=5]⁵[/size][/size][size=4][size=3]) [/size]+[/size][size=5] [/size][size=3]([/size][size=4]x[/size][size=5]² [/size][size=4]+ x) + 1[/size][/size] [size=4]≥ 0 + 0 + 1 > 0[/size]
[size=4][/size]
[size=4][size=3]ii.[/size] [size=3]當[/size] [size=3]|[/size][size=4]x[/size][size=3]|[/size] [size=3]< 1[/size]，[size=3]原式左 =[/size] [size=3]([/size]1 +[size=5] [/size][size=4]x [/size][size=4][size=3]) [/size]+[/size][size=5] [/size][size=3]([/size][size=4]x[/size][size=5]² [size=5]- [/size][size=4]x[size=5]⁵[/size][/size][/size][size=4][size=3])[/size] + x[size=5]⁸[/size][/size][size=4]> 0 + 0 + 0 = 0[/size][/size]
[size=4][/size]
[size=3]得證。[/size]
109.5.30補充
證明\(f(x)=x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。
(109高雄市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3338-1-1.html[/url])
110.2.27補充
對於實數\(x\)，求證\(\displaystyle x^8-x+\frac{3}{4}\)恆大於0。
(建中通訊解題第145期) 所以第九題的答案應該是 1/24 + 根號3/16？
回復 18# homepage 的帖子
第 9 題阿基鴻德 兄的答案是正確的 想請問一下13和15題
13題邊長是根號98,所以把98拆成3個整數的平方和然後討論
除了這方法外有沒有其他方法
15題
除了硬算外有其他方法嗎?
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