104新北市高中聯招
今年沒有計算題。但80分鐘我還是有很多題沒算到，
只有我太弱覺得跟往年比起來今年很難嗎....> <
thepiano寫的解答
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=3936&sid=1f260cfa9ceed48a5b60aa4f58359c4c[/url]
題目是不是有問題
請問大家填充題第三題如果用y=(2-x)/2替換掉後
f(x,y)不就變成x的三次多項式
但是三次多項式根本沒有最大值和最小值不是嗎?
這樣這題題目是不是有問題阿? 選擇1.
設\( S=\{\;1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}\; \)，\( m \)表示\( S \)中任意兩個非空互斥子集合的總對數，若\( m \)除以10000的餘數為四位數\( abcd \)，則\( a+b+c+d \)之值為何？
(A)13 (B)13 (C)12 (D)10
(2002AIME，[url]http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2002_AIME_II_Problems/Problem_9[/url])
填充1.
已知\( P \)為正方形\( ABCD \)內部一點，若\( \overline{AP}=7 \)，\( \overline{BP}=5 \)，\( \overline{CP}=1 \)，則正方形ABCD之面積為？
(95北港高中，97玉井工商，100彰化藝術高中暨田中高中都考過這題)
(weiye解題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973[/url])
填充7.
已知存在一正整數\( n \)，使得\( \displaystyle \frac{n}{10}<cos \frac{3}{5} <\frac{n+1}{10} \)。求\( n= \)？
[解]
\( f(x)=cos(x) \)的泰勒展開式為\( \displaystyle f(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} \ldots \)，\( \displaystyle f(\frac{3}{5})=0.8254 \)
因為題目只要小數點以下第一位，所以代\( \displaystyle f(x)=1-\frac{x^2}{2!} \)，\( \displaystyle f(\frac{3}{5})=0.82 \)也是正確的
\( \displaystyle \frac{2 \pi}{7} \)是特別角，所以有特別的方法
若\( \displaystyle \frac{n}{100}<2cos \frac{2 \pi}{7}<\frac{n+1}{100} \)，\( n \in N \)，則\( n= \)
(99建國中學，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=968&page=1#pid2218[/url])
填充8.
設正實數\( x \)、\( y \)、\( z \)滿足\( \displaystyle x=\sqrt{y^2-\frac{1}{49}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{49}} \)，\( \displaystyle y=\sqrt{x^2-\frac{1}{64}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{64}} \)，\( \displaystyle z=\sqrt{x^2-\frac{1}{81}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{81}} \)，則\( x+y+z= \)？
設實數x、y、z滿足，\( \displaystyle \matrix{x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}} \cr y=\sqrt{z^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{25}} \cr z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}}} \)，且\( \displaystyle x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}} \)，其中m、n是正整數，且n不能被任何質數的平方整除，試求\( m+n \)之值。
(2006AIME，[url]http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2006_AIME_II_Problems/Problem_15[/url])
填充10.
在環\( Z[x] \)上，因式分解\( x^5+x^4+4x^3+7x^2+9x+18 \)
方程式\( 2x^5-8x^4+3x^3+13x^2-3x-3=0 \)，方程式的最大實根為？
(101松山工農，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid7644[/url])
104.7.5補充
填充4.
已知\( \alpha>0 \)，且\( \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} \)為一正整數，求\( \alpha= \)？
(出自99高中數學能力競賽 第二區(新店高中)筆試二試題，[url]https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html[/url])
104.12.6補充
填充5.
假設\( a=\sqrt{2}+1 \)、\( \displaystyle b=\frac{sin \frac{7}{16}\pi}{sin \frac{3}{16}\pi} \)、\( \displaystyle b=\frac{sin \frac{5}{16}\pi}{sin \frac{1}{16}\pi} \)。比較\( a,b,c \)大小為何？
(出自100高中數學能力競賽 第二區(新店高中)口試試題，[url]https://math.pro/db/thread-1349-1-9.html[/url])
回復 2# tim 的帖子
填充第3題的確有問題，忘了給 x 和 y 是非負實數填充3.
若\( f(x,y)=x^2y \)，則在平面\( x+2y=2 \)上，\( f(x,y) \)的最大值與最小值之和為[u] [/u]。 第3題我一開始也覺奇怪
用三次多項式的微分求出極大極小值的確可解出16/27，
但他問最大值和最小值...
所以我當下沒寫答案
一直到打鐘前才死馬當活馬醫
感謝第七題回復作答方式
用泰勒真的太漂亮了(題目練習不夠，還無法想到泰勒展開是><)
我是用30度跟45度去看他的範圍發現答案介於約7.0(根號2/2)到8.5(根號3/2)之間
還在想要不要用內插法...
然後發現沒時間了
就猜7...
然後回家內插之後發現是8...
[[i] 本帖最後由 rueichi 於 2015-5-31 06:29 PM 編輯 [/i]]
回復 5# rueichi 的帖子
填充 7.已知存在一正整數\( n \)，使得\( \displaystyle \frac{n}{10}<cos \frac{3}{5}<\frac{n+1}{10} \)。求\( n= \)？
泰勒展開式 (Taylor Expansion)
\( \cos \frac35 = 1 - \frac12 \cdot 0.6^2 + \ldots = 0.82 + \frac{\cos(\xi)}{4!} \cdot 0.6^4\)
因此 \( |\cos \frac35 - 0.82 | \leq \frac{1}{4!}\cdot 0.6^4 < 0.006 \)
故 \( 0.814 < \cos \frac35 < 0.826 \)，故所求 \( n = 8 \) 想請教選擇2(D選項)、選擇3、選擇5、填充4
先謝謝版上的老師們，謝謝。
回復 7# EZWrookie 的帖子
選擇2.下列何者對質數的敘述為真？
(A)最大的質數大約是\( 10^{2^{37}} \)位數
(B)\( 7663 \)為一質數
(C)存在一奇質數\( p \)，使得\( p \)和\( p+2 \)不互質
(D)對所有奇質數\( p \)，存在整數對\( (a,b) \)，使得\( 6a+bp=3 \)成立
[解答]
(D)原式移項後\( bp=-3(2a-1) \)，對任意奇實數\( p \)，可以選\( \displaystyle a= \frac{p+1}{2} \),\( b=-3 \)
選擇3.
設直線\( y=kx+1 \)與曲線\( x^2+y^2+kx-y=4 \)的兩個交點\( (x_1,y_1) \)、\( (x_2,y_2) \)對於直線\( y=x \)對稱，且\( x_1 \neq x_2 \)，則\( x_1+x_2+y_1+y_2= \)？
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
[解答]
\( (x_1,y_1) \),\( (x_2,y_2) \)對稱於\( y=x \)，表示\( y=kx+1 \)與\( y=x \)垂直，可得\( k=-1 \)
代入\( k=-1 \)即可求出\( x_1,x_2,y_1,y_2 \)
選擇5
有一圓半徑為1，圓心為\( O \)，線段\( \overline{AB} \)切圓於\( A \)，已知\( ∠AOB=\theta \)，若\( ∠ABO \)之角平分線\( \overline{BC} \)交\( \overline{OA} \)於\( C \)，則\( \overline{OC} \)長為？
(A)\( sec \theta-tan \theta \) (B)\( \displaystyle \frac{tan \theta}{1+sin \theta} \) (C)\( \displaystyle \frac{1}{1+sin \theta} \) (D)以上皆非
[解答]
如圖，因內分比，\( \overline{OC}:\overline{CA}=\overline{BO}:\overline{BA}=sec \theta:tan \theta \)
所以\( \displaystyle \overline{OC}=\frac{sec \theta}{sec\theta+tan \theta}=\frac{1}{1+sin \theta} \)
[attach]2908[/attach] 想請問一下，填充九的答案是否有兩個?
我查過有關舒爾分解的部分，好像並不唯一?
詳解目前只缺這題，偏偏我線代苦手，請求板上大大協助!
填充9.
給定矩陣\( A=\left[ \matrix{5 & -3 \cr 4 & -2} \right] \)，若存在么正矩陣\( U \)(Unitary Matrix)及三角矩陣\( T \)(Triangular Matrix)使得\( U^{-1}AU=T \)，則\( U= \)[u] [/u]，\( T= \)[u] [/u]。
回復 7# EZWrookie 的帖子
填充第4題已知\( \alpha>0 \)，且\( \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} \)為一正整數，求\( \alpha= \)？
[解答]
令\(a=\sqrt[3]{2+\sqrt{\alpha }},b=\sqrt[3]{2-\sqrt{\alpha }},a+b=k\ ,\ k\in N\)
\(\begin{align}
& ab=\sqrt[3]{4-\alpha }<\sqrt[3]{4}<2 \\
& \\
& {{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)={{a}^{3}}+{{b}^{3}}=4 \\
& {{k}^{3}}-3abk=4 \\
& ab=\frac{{{k}^{3}}-4}{3k}=\frac{{{k}^{2}}}{3}-\frac{4}{3k}<2 \\
& k=1\ or\ 2 \\
& \\
& k=1,ab=-1,\alpha =5 \\
& k=2,ab=\frac{2}{3},\alpha =\frac{100}{27} \\
\end{align}\)
回復 9# jackyxul4 的帖子
我是這樣寫的... 跟答案不一樣! 但若我沒驗算錯的話 我的也符合題意。有省略一些步驟，歡迎老師們多多指導、討論。
ps.我也覺得答案並不唯一... 隨著U取的不同 會有不一樣的T。
回復 8# valkyriea 的帖子
謝謝valkyriea老師的指導，也謝謝thepiano老師的指導。太強大了。
回復 11# EZWrookie 的帖子
限定T是三角矩陣的話，應該只有兩個因為T的主對角線元素會是A的特徵值...........
這是網路查來的，別問我為什麼，有請版上線代神人開釋
回復 13# jackyxul4 的帖子
回復 13# jackyxul4 的帖子
信哥老師 我覺得應該有四個隨著特徵向量固定後( EX:[3/5, 4/5)
可取的單範正交基底有兩個 (EX：[4/5, -3/5] OR [-4/5 , 3/5])
這樣取出來的U就有四個 對應的T也是四個。
①\( U=\Bigg[\; \matrix{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \cr \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}} \Bigg]\; \)，\(T=\Bigg[\; \matrix{2 & 7 \cr 0 & 1} \Bigg]\;\)
②\( U=\Bigg[\; \matrix{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \cr \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}} \Bigg]\; \)，\(T=\Bigg[\; \matrix{2 & -7 \cr 0 & 1} \Bigg]\;\)
③\( U=\Bigg[\; \matrix{\displaystyle \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \cr \frac{4}{5} & -\frac{3}{5}} \Bigg]\; \)，\(T=\Bigg[\; \matrix{1 & 7 \cr 0 & 2} \Bigg]\;\)
④\( U=\Bigg[\; \matrix{\displaystyle \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \cr \frac{4}{5} & \frac{3}{5}} \Bigg]\; \)，\(T=\Bigg[\; \matrix{1 & -7 \cr 0 & -2} \Bigg]\;\)
回復 15# EZWrookie 的帖子
恩...看起來是對的沒錯線代真的不是我的擅長...我也不知道到底會有幾個
反正絕對不會只有一個，坐等送分吧!
詳解等官方更正答案我再來修
回復 16# jackyxul4 的帖子
信哥老師剛看了一下試題疑義的時間，竟然已經超過時間了。
好像無法再提報了??
謝謝信哥老師的詳解^^ 意外發現黃子嘉的書裡面有一樣的題目
[attach]2912[/attach]
回復 18# Superconan 的帖子
哇 這也太巧了@o@那麼我也補上一個我覺得很像的題目，但考的方法不同！
[attach]2913[/attach]
只能說 題目真的要多練
感謝信哥熱心提供詳解^^
[[i] 本帖最後由 CyberCat 於 2015-6-2 05:36 PM 編輯 [/i]]
選擇5 & 填充1 另解
信哥太強大了! (感謝大大無私分享) 小弟只能提供與信哥不一樣的兩題解法[[i] 本帖最後由 tuhunger 於 2015-6-3 11:09 AM 編輯 [/i]]
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