證明請教
設RT三角形ABC中，D為斜邊AB上的任意一點，求證: (CD*AB)^2 = (AD*BC)^2+(BD*AC)^2並指出勾股定理是其特殊情形 [attach]2938[/attach]
曾有老師提示過，中學常見的「幾何證題方法」有：(1) 綜合法 (2) 坐標法 (3) 向量法 (4) 三角法
這題用 "綜合法(利用相似形)" 或 "坐標法" 並不太複雜，不過用 "向量法" 可以精簡些。
由分點公式:
[size=3]向量CD = (AD/AB)*向量CB + (BD/AB)*向量CA[/size]
等號兩邊分別與自己內積:
[size=3]CD² = (AD/AB)²BC² + (BD/AB)²AC²[/size]
兩邊再同乘 AB²，即得:
[size=3](CD*AB)² = (AD*BC)² + (BD*AC)²[/size]
[size=3]當 D 為 AB 中點時， 因 CD = AD = BD，故[/size]
[size=3]AB² = BC² + AC² (勾股定理)[/size]
[size=3]由證明過程，知 D 可為 AB "直線"上任一點。[/size]
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