104嘉義高中代理
. 想請教多選題2和填充題4和15, 謝謝多選題2
實係數多項式不等式\( f(x)<0 \)的整數解共有\( k \)個，其中\( k \)為正整數，則下列敘述哪些是正確的？
(1)\( f(x) \)的次數必為奇數 (2)\(f(x)\)的最高次項係數必為正數 (3)\( f(x)<100 \)的整數解至少有\(k\)個 (4)\(f(x)>100\)的整數解必有無限多個 (5)\( f(2x)<0 \)的整數解至少有\(k\)個
回復 2# 阿光 的帖子
填充第15題有一個四位數\(abcd\)滿足\( \cases{a<b \cr b>c \cr c<d} \)，如1327、2656、7801，滿足以上條件的四位數共有[u] [/u]個。
[解答]
跟景美那題很像
(1) a < b 且 c < d：36 * 45 = 1620 個
(2) a < b = c < d：C(10，3) - C(9，2) = 84 個
(3) a < b < c < d：C(10，4) - C(9，3) = 126 個
所求 = 1620 - 84 - 126 = 1410 個
回復 2# 阿光 的帖子
填充第4題在\( \Delta ABC \)中，\(M\)為\(\overline{BC}\)邊之中點，若\(\overline{AB}=2\)，\( \overline{AC}=5 \)，且\(∠BAC=120^{\circ}\)，則\(tan∠BAM=\)[u] [/u]。
[解答]
\(\begin{align}
& BC=\sqrt{39},BM=\frac{\sqrt{39}}{2},AM=\frac{\sqrt{19}}{2} \\
& \cos \angle BAM=-\frac{1}{2\sqrt{19}},\sin \angle BAM=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{19}},\tan \angle BAM=-5\sqrt{3} \\
\end{align}\) 想請教填充題6.9.12.13.14題
謝謝版上的老師。
回復 5# EZWrookie 的帖子
填充第6題在\( \Delta ABC \)中，\( \overline{AB}=10 \)，\( \overline{AC}=8 \)，\( \displaystyle cos ∠BAC=\frac{3}{8} \)。設點\(P\)、\(Q\)分別在邊\( \overline{AB} \)、\( \overline{AC} \)上使得\( \Delta APQ \)面積為\( \Delta ABC \)面積之一半，則\( \overline{PQ} \)之最小可能值為[u] [/u]。
[解答]
\(\sin \angle BAC=\frac{\sqrt{55}}{8},\Delta ABC=5\sqrt{55}\)
令\(AP=x,AQ=y\)
\(\begin{align}
& \Delta APQ=\frac{1}{2}xy\sin \angle BAC=\frac{5}{2}\sqrt{55} \\
& xy=40 \\
& P{{Q}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy\cos \angle BAC \\
& ={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-30 \\
& \ge 2xy-30 \\
& =50 \\
& PQ\ge 5\sqrt{2} \\
\end{align}\)
填充第9題
已知三角形\( ABC \)的三邊長滿足\( \overline{BC}^2+\overline{CA}^2=3 \overline{AB}^2 \)，則\( sin C \)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
\(\begin{align}
& \cos C=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}=\frac{3{{c}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}=\frac{{{c}^{2}}}{ab} \\
& \sin C=\sqrt{1-\frac{{{c}^{4}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}\le \sqrt{1-\frac{{{c}^{4}}}{{{\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2} \right)}^{2}}}}=\sqrt{1-\frac{{{c}^{4}}}{\frac{9}{4}{{c}^{4}}}}=\frac{\sqrt{5}}{3} \\
\end{align}\) 第13&14題
請參考附件
填充第13題
設\(x\)的二次方程式\( (m-2)x^2+(m^2-4m+3)x-(6m^2-2)=0 \)有實根，且此二根的立方和為0，則\( m= \)[u] [/u]。
填充第14題
將一個半徑為5公分的鐵球，放入一個邊長10公分的正方體容器，再放入另一個小鉛球，然後蓋上正方體容器的蓋子，使蓋子與正方體完全密合，則小鉛球的最大半徑為[u] [/u]公分。
第13題
我也是跟鋼琴老師算法一樣不過我有個疑問
就是a^3+b^3=0
為什麼直接是a=-b
不需要考慮a^2-ab+b^2=0嗎？ 請教證明第2題,謝謝
回復 8# pretext 的帖子
小弟本也想考慮\({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}=0\)但要解四次方程，還要處理判別式(四次不等式)，就打退堂鼓了
用電腦檢驗的結果，只有m=3這個答案
回復 9# 阿光 的帖子
證明第2題三角形\( ABC \)中，\( \overline{BC}=a \),\( \overline{CA}=b \),\( \overline{AB}=c \)，三邊\( \overline{BC} \)、\( \overline{CA} \)、\( \overline{AB} \)上的中點各別為\(D\)、\(E\)、\(F\)，令\( \overline{AD}=m_a \)，\( \overline{BE}=m_b \)，\( \overline{CF}=m_c \)，證明：\( \displaystyle a^2+b^2+c^2 \ge \frac{2}{\sqrt{3}}(am_a+bm_b+cm_c) \)。
[attach]2893[/attach]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2015-9-10 08:25 PM 編輯 [/i]]
回復 10# thepiano 的帖子
a^2-ab+b^2=0a、b皆為實數
若以a為主，考慮判別式
則為(-b)^2-4b^2=-3b^2<0
所以a不為實根，不合
[[i] 本帖最後由 smileplus 於 2015-6-2 11:47 PM 編輯 [/i]]
回復 12# smileplus 的帖子
沒想到要這樣做，感謝指導回復 12# smileplus 的帖子
[quote]原帖由 [i]smileplus[/i] 於 2015-6-2 11:39 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13571&ptid=2267][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]a^2-ab+b^2=0
a、b皆為實數
若以a為主，考慮判別式
則為(-b)^2-4b^2=-3b^2 [/quote]
填充 13. 這我也有想到，但[color=Red]沒有 a、b 皆為實數這件事[/color]
原題只說 x 的二次方程式[color=Red]有實根[/color]，並沒有說到二實根或二根皆為實根。
複係數的二次方程式，是有可能一實根一虛根的
回復 14# tsusy 的帖子
對耶，是我疏忽了，謝謝提醒所以，還要考慮m為複數的時候
不好處理了
回復 14# tsusy 的帖子
查了一下，這題是 97 年能力競賽高屏區的題目，當年給的解答也是含混帶過要找到一實根一虛根，立方和為 0，且要使該複係數方程式成立，應該很難
所以小弟認為題目應是少了"實係數方程式"這幾個字 想請問一下第10題
滿足條件的有
(3,4)--->2次
(3,3,1)--->3次*2=6次
(3,2,2)--->3次
(3,2,1,1)--->6次
(3,1,1,1,1)--->5次
總共22次,還少6次
回復 17# g112 的帖子
(3,2,1,1) → 12次 [quote]原帖由 [i]stanley30203[/i] 於 2015-6-18 01:42 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13674&ptid=2267][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url](3,2,1,1) → 12次 [/quote]
問了個白癡問題,腦殘計算錯了@@ 請問老師 二、7 我的做法, 是那邊錯了呢‧....................
填充第7題
一個抽獎活動依排隊順序抽獎，輪到抽獎的人有一次抽獎機會，抽獎方式為丟擲一枚公正銅板，正面為中獎，反面為沒中獎。獎品有三份，活動直到三份獎品都被抽中為止。則在排第四位的人可以抽獎的情況下，排第五位的人可以抽獎的條件機率為[u] [/u]。
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