104板橋高中
如檔 為什麼第一部分的填充2我一直算出162/25....回復 2# jkliopnm 的帖子
2.設\(O\)為坐標平面的原點，若過點\(\displaystyle P\left(\frac{6}{5},\frac{12}{5}\right)\)的直線分別與\(x\)軸，\(y\)軸的正向交於\(A,B\)兩點，則當\(\Delta OAB\)周長為最小值時，\(\Delta OAB\)的面積為[u] [/u]。
[提示]
當 A(3，0)，B(0，4) 時，△OAB 有最小周長 12，此時 △OAB = 6 想請教3.7.9.13.15
謝謝版上的老師們。
回復 4# EZWrookie 的帖子
(3)空間中兩直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-6}{-2}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-5}{-1}\)與\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x+2}{-4}=\frac{y-6}{7}=\frac{z-7}{4}\)的其中一條分角線方程式為\(\displaystyle \frac{x-6}{4}=\frac{y-b}{2}=\frac{z-c}{d}\)，求\(b+c+d=\)[u] [/u]。
[提示]
找交點，找分角線方向
(9)
設\(a,b,c\)為實數，二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)的二根為\(\alpha,\beta\)，其中\(-1\le \alpha \le 0\)，\(1\le \beta \le 2\)，若\(2a+b+c=4\)，且\(a\ge 2\ge b\ge -8\)，則\(a+3b+2c\)的最小值為[u] [/u]。
[解答]
由 \( a>0 \) 知函數 \( f(x) = ax^2+bx+c \) 之圖形為開口向上的拋物線
又 \( f(x) = 0 \) 之兩根 \( \alpha, \beta \)，故 \( f(-1) \geq 0, f(0) \leq 0, f(1) \leq 0, f(2) \geq 0 \)。
故 \( a,b \) 滿足 \( f(-1) \geq 0, f(0) \leq 0, f(1) \leq 0, f(2) \geq 0 \) 及 \( a\geq2 \), \( 2\geq b \geq -8 \)
以 \( c = 4 -2a -b \) 替換，可得一線性規劃問題(變數為 \( a,b \) )，以頂點法可找到最小值
第3題
空間中兩直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-6}{-2}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-5}{-1}\)與\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x+2}{-4}=\frac{y-6}{7}=\frac{z-7}{4}\)的其中一條分角線方程式為\(\displaystyle \frac{x-6}{4}=\frac{y-b}{2}=\frac{z-c}{d}\)，求\(b+c+d=\)[u] [/u]。第13題
若數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)滿足\(\displaystyle (1+x+x^2)^{2015}=1+\sum_{k=1}^{4030}a_kx^k\)，則\(a_1+a_5+a_9+\ldots+a_{4029}=\)[u] [/u]。第8,10,11題
8.整係數三次函數\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，已知\(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^5-1}=2\)，且\(a>b>0\)，則數對\((a,b,c)=\)[u] [/u]。
10.
設對任意實數\(x,y\)，函數\(f(x)\)恆滿足\(f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy\)，且導數\(f'(0)=3\)，則導函數\(f'(x)=\)[u] [/u]。
11.
化簡\(\displaystyle \prod_{n=2}^{24}\frac{n^3-2n^2+2n-1}{n^3+2n^2+2n+1}=\)[u] [/u]。
第8,10,11題 如圖檔
回復 3# thepiano 的帖子
請問第二題詳細算式！謝謝！回復 10# jyi 的帖子
第2題設\(O\)為坐標平面的原點，若過點\(\displaystyle P\left(\frac{6}{5},\frac{12}{5}\right)\)的直線分別與\(x\)軸，\(y\)軸的正向交於\(A,B\)兩點，則當\(\Delta OAB\)周長為最小值時，\(\Delta OAB\)的面積為[u] [/u]。
[解答]
作PC垂直OA於C，PD垂直OB於D
令\(\angle BAO=\theta \)
\(\begin{align}
& PC=\frac{12}{5},PD=\frac{6}{5} \\
& AC+AP=\frac{12}{5}\times \left( \frac{1}{\tan \theta }+\frac{1}{\sin \theta } \right) \\
& BD+BP=\frac{6}{5}\times \left( \tan \theta +\frac{1}{\cos \theta } \right) \\
\end{align}\)
周長\(=\frac{12}{5}\times \left( \frac{1}{\tan \theta }+\frac{1}{\sin \theta } \right)+\frac{6}{5}\times \left( \tan \theta +\frac{1}{\cos \theta } \right)+\frac{18}{5}\)
令\(\tan \frac{\theta }{2}=t\ \left( 0<t<1 \right)\)
\(\begin{align}
& \frac{12}{5}\times \left( \frac{1}{\tan \theta }+\frac{1}{\sin \theta } \right)+\frac{6}{5}\times \left( \tan \theta +\frac{1}{\cos \theta } \right)+\frac{18}{5} \\
& =\frac{12}{5}\times \left( \frac{1-{{t}^{2}}}{2t}+\frac{1+{{t}^{2}}}{2t} \right)+\frac{6}{5}\times \left( \frac{2t}{1-{{t}^{2}}}+\frac{1+{{t}^{2}}}{1-{{t}^{2}}} \right)+\frac{18}{5} \\
& =\frac{12}{5}\times \left( 1+\frac{1-t}{t} \right)+\frac{6}{5}\times \left( 1+\frac{2t}{1-t} \right)+\frac{18}{5} \\
& =\frac{12}{5}\left( \frac{1-t}{t}+\frac{t}{1-t} \right)+\frac{36}{5} \\
& \ge \frac{24}{5}+\frac{36}{5} \\
& =12 \\
\end{align}\)
等號成立於\(t=\frac{1}{2}\)
此時\(OA=3,OB=4,\Delta OAB=6\)
第2題 另解
設\(O\)為坐標平面的原點，若過點\(\displaystyle P\left(\frac{6}{5},\frac{12}{5}\right)\)的直線分別與\(x\)軸，\(y\)軸的正向交於\(A,B\)兩點，則當\(\Delta OAB\)周長為最小值時，\(\Delta OAB\)的面積為[u] [/u]。回復 10# thepiano 的帖子
太佩服了。這個問題擴展到一般的情況，
也就是\(P\)點坐標改為\((a,b)\)，
不知有沒有通解表示法?
回復 11# tuhunger 的帖子
請問第一行周長=2r 是怎麼來的?能否詳細說明您的圖形畫法?
回復 1# rueichi 的帖子
看來這是一份算得很過癮但是會邊算邊罵的題目，選題真的是關鍵了，好幾題會讓人走火入魔的題目，跳過才是上策。7.
\(k\)為整數，若\(x^3+12x^2+(36+2k)x+280+12k=0\)有三個整數根，試求\(k=\)[u] [/u]。
[解答]
第7題也是其中一題吧，
f(x)=x^3+12x^2+(36+2k)x+280+12k
設 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，其中a,b,c皆為整數，
則a+b+c=-12，ab+bc+ca=36+2k，abc=-280-12k
考慮f(-6)=(-6-a)(-6-b)(-6-c)=280，令a1=-6-a，b1=-6-b，c1=-6-c，則
(a1)(b1)(c1)=280.....................................(1)式
a1+b1+c1=-18-(a+b+c)=-6......................(2)式
(a1)(b1)+(b1)(c1)+(c1)(a1)=2k..........(3)式
由第(2)式可知a1，b1，c1為三偶或兩奇一偶，再由第(3)式知兩奇一偶不合，
因此為三偶，可設a1=2*(a2)，b1=2*(b2)，c1=2*(c2)，
代入(1)式及(2)式可得
(a2)(b2)(c2)=35，
a2+b2+c2=-3，
可知a2、b2、c2之解為-1、-7、5，
依序帶回可得k= -66
回復 13# farmer 的帖子
第2題.設\(O\)為坐標平面的原點，若過點\(\displaystyle P\left(\frac{6}{5},\frac{12}{5}\right)\)的直線分別與\(x\)軸，\(y\)軸的正向交於\(A,B\)兩點，則當\(\Delta OAB\)周長為最小值時，\(\Delta OAB\)的面積為[u] [/u]。
[提示]
腦補細節，或許 tuhunger 老師原本的想法更妙
先取 \( O' \) 滿足 \( \overline{O'P} = O' \) 到 \( x, y \) 軸的距離，如 #11 樓的計算得 \( O'(6,6) \)
做圓 \( O' \) 與 \( L \) 相切，因 \( \overline{O'P} = 6 \)，故此圓之半徑 \( \leq 6 \)，此圓落在第一象限之內或與坐標軸相切。
過 \( A, B \) 分別對圓 \( O' \) 做另一條異於 \( L \) 之切線，分別切圓 \( O' \) 於 \( R, S \)
則有 \( \overline{AR} + \overline{BS} = \overline{AB} \) (切線段長相等)
故\( \triangle OAB \) 之周長 \( = \overline{OA} + \overline{AR} + \overline{OB} + \overline{BS} \)
令 \( r \) 為圓 \( O' \) 之半徑 \( (\alpha,0) \) 為 \( A \) 之坐標，則 \( \overline{AR} = \sqrt{ 6^2 + (6-\alpha)^2 - r^2} \geq |6-\alpha| \)
因此 \( \overline{OA} + \overline{AR} \geq \alpha + |6-\alpha| \geq 6 \)
同理 \( \overline{OB} + \overline{BS} \geq 6 \)
綜合兩不等式有 \( \triangle OAB \) 之周長 \( \geq 12 \) 且當 \( L \) 與圓 \( O' \) 相切於 \( P \) 點時等號成立。 14.
\(x,y,z\)均為正實數，若滿足\(\cases{\displaystyle x\le \frac{z^2}{4+z^2}\cr \frac{y}{2}\le \frac{4x^2}{1+4x^2}\cr \frac{z}{4}\le \frac{y^2}{1+y^2}}\)，試求所有可能的\(x=\)[u] [/u]。
[解答]
第14題這種題目大概都要朝某個不等式成立的情況去想，
這題是要考慮算幾不等式，
將三個不等式右邊的分母使用算幾不等式，可得
x<=z/4，
y/2<=x，
z/4<=y/2，
可知三個算幾不等式皆須成立，
因此x=1/2，y=1，z=2
回復 12# farmer 的帖子
\(\begin{align}& b\times \left( \frac{1-{{t}^{2}}}{2t}+\frac{1+{{t}^{2}}}{2t} \right)+a\times \left( \frac{2t}{1-{{t}^{2}}}+\frac{1+{{t}^{2}}}{1-{{t}^{2}}} \right)+a+b \\
& =b\times \left( 1+\frac{1-t}{t} \right)+a\times \left( 1+\frac{2t}{1-t} \right)+a+b \\
& =\frac{b\left( 1-t \right)}{t}+\frac{2at}{1-t}+2a+2b \\
& \ge 2\sqrt{2ab}+2a+2b \\
\end{align}\)
周長的最小值為\(2\sqrt{2ab}+2a+2b\)
(1)當\(2a=b\)時，等號成立於\(t=\frac{1}{2}\)，此時面積為\(\frac{1}{2}\left( a+\frac{3}{4}b \right)\left( b+\frac{4}{3}a \right)=ab+\frac{2}{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{8}{{b}^{2}}\)
(2)當\(2a>b\)時，等號成立於\(t=\frac{-b+\sqrt{2ab}}{2a-b}\)，此時面積小弟不想算，留給有耐心的人，不會是\(ab+\frac{2}{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{8}{{b}^{2}}\)就是了
(3)當\(2a<b\)時，等號成立於\(t=\frac{-b-\sqrt{2ab}}{2a-b}\) 想請教100桃園新進聯招的題目..也可以仿用#10的作法嗎?謝謝
題目如下：\(f(x+y)=f(x)+f(y)+x^2y+y^2x\)，已知\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=1 \)，則\(f'(x)=\)?
ANS:\(1+x^2\)
回復 18# idontnow90 的帖子
應該可，但你題目是不是打錯了?我覺得題目應該是\(f(x+y)=f(x)+f(y)+(x^2)y+(y^2)x…\)
若是這樣的話，答案是沒錯的
解法:對\(y\)微=>\(f'(x+y)=0+f'(y)+x^2+2xy\)
\(y=0\)代入，得\(f'(x)=f'(0)+x^2+0=1+x^2\)
回復 19# tuhunger 的帖子
你是對的..我忘了括號~thx用這個方法我卡住哩..可以寫一下詳解嗎~謝謝~
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