回復 17# thepiano 的帖子
太棒了，thank you.第2題 另解 (想法)
感謝寸絲老師給一個更嚴謹,更清楚的解釋方式...我的想法大概是:
首先作與兩軸相切的圓O'...且圓O'與過P點的直線相切...
這樣的話,我們所求的Δ周長=2r
換言之,題目就可以改寫成:圓與兩軸和過P的直線相切,求此圓的直徑最小值?
經過幾次不嚴謹的操作,會發現當P點恰為切點時,此時的圓O'最小(why?)
設P為切點的直線為L, 且過P的割線為L1...
理由1 :"用眼睛"看會發現若圓O'要與L1相切...圓O'會變大(覺得用眼睛看不準,可參考理由2)
理由2 : 假設與L1相切的圓O'才是最小圓, 那麼作L2//L1,且L2切與P為切點那個圓O'
很明顯的,[與P為切點那個圓O' ]小於[與L1相切的圓O'], 原假設矛盾 想請問一下
13和17
謝謝
回復 23# windin0420 的帖子
第 13 題前面有
第 17 題
考慮 mod 8
回復 24# thepiano 的帖子
想通了!謝謝
補充想通後的解法 真得很感謝thepiano大
第17題
17.
給定一個正整數\(N\)定義\(\displaystyle f(N;x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i\)，
其中\(a_0\)為\(N\)的個位數字，\(a_1\)為\(N\)的十位數字...，\(a_n\)為\(N\)的最高位數
例如：\(f(3456;x)=6+5x+4x^2+3x^3\)，而\(f(3456;1)=6+5\times 1+4\times 1^2+3\times 1^3=18\)
若\(M=12345678910111213\ldots \ldots20142015\)
令\(b_1=f(M;2)\)，\(b_{j+1}=f(b_j;2)\)其中\(j=1,2,3,4,\ldots\)，試求\(\displaystyle \lim_{j \to \infty}b_j=\)[u] [/u]。
[解答]
先舉個簡單例子 如f(abcd;2)
f(abcd;2)=d+c*2+b*2^2+a*2^3
原本abcd可表示成 d+c*10+b*10^2+a*10^3
則 abcd-f(abcd;2) 會是8的倍數 即 abcd=f(abcd;2) (mod 8)
因此 M=b(1)=b(2)=....=b(n) (mod 8)
當n夠大時 b(n)會是個位數
M (mod 8) = 7
7+8=15 & 7-8=-1 非個位數 所以只有一解7
第12題
12.對於所有整數\(m,n\)定義\(\left(\matrix{n \cr m}\right)=\cases{\displaystyle \frac{n!}{m!(n-m)!},if n\ge m\ge 0\cr 0 ,otherwise}\)
及數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)滿足\(\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\matrix{k \cr n-k}\right),n \in N\)，則\(a_{17}\)的值為[u] [/u]。
[解答]
除了暴力破解法外, 提供一個小暴力方式
回復 22# tuhunger 的帖子
很好的想法，thank you [quote]原帖由 [i]tuhunger[/i] 於 2015-5-25 11:51 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13464&ptid=2266][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]除了暴力破解法外, 提供一個小暴力方式 [/quote]
能請教一下為什麼可以看成是費式數列??
回復 28# g112 的帖子
[url]http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_07_1/page3.html[/url]第6題 幾合解法
6.若\(k\)為整數，且\(\displaystyle x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi\)，則函數\(\displaystyle f(x)=\frac{2tanx}{1+2secx}\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
小弟提供一個幾合的解法供各位參考....(代數方式可用"正餘弦疊合"試試看) 請教9,15,16題,謝謝
回復 31# 阿光 的帖子
參考一下[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3862[/url]
第16題
16.數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)、\(\langle\;b_n\rangle\;\)滿足\(a_1=-1\)，\(b_1=1\)，\(a_{n+1}=6a_n-6b_n\)，\(b_{n+1}=2a_n-b_n\)，請寫出\(b_{n+1}\)的一般式為[u] [/u]。
[解答]
若題目只要求第\(n\)項, 可先算出特徵值, 就可以把 第\(n\)項的形式假設出來...
請教第4題
已知\(a,b,c>0\)且\(log_{0.5}(a+b+c)+log_{0.5}a+log_{0.5}b+log_{0.5}c=0\)，試求\(log_{0.5}(a+b)+log_{0.5}(a+c)\)最大值為[u] [/u]。板上老師好
請問第四題,知道條件abc(a+b+c)=1,欲求log(底0.5)(a+b)(a+c)最大 (找(a+b)(a+c)最小)
下面自己想法
看題b,c對稱所以就直接猜b=c去做了
令f(a,b)=a^2+2ab+b^2, g(a,b)=(ab)^2+2ab^3-1,利用lagrange condition倒三角形f=(浪達)倒三角形g
得到 (a+b)^3=2(ab^2+b^3)...(*) 接下來考慮(ab^2+b^3) /2 大於等於根號(ab^2*b^3) 在等號成立時 (a=b,有可能達到最小)
猜a=b帶入(*),b=0然後 b>0(題意) 就卡住了
回復 34# anyway13 的帖子
第 4 題參考一下小弟的做法
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2406[/url]
回復 35# thepiano 的帖子
鋼琴老師再次賜教 十分感謝頁:
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