104台北市陽明高中
1.角AOB為銳角，M、N為OA上一點，其中OM=5、MN=3。 P為OB上一點，求OP為多少時 角MON的角度為最大。2.f(x)=x^3-3x、-2<a<2 (-2跟2有等號）
試由a討論 f(f(x))=a根的個數。
3.有ㄧ圓x^2+y^2=10，令F為x^2=4y之焦點。 若有一直線斜率為1且過F，且該直線與圓、拋物線交四點，由左至右分別是F_1 F_2 F_3 F_4，求F_1F_2的長度+F_3F_4的長度為?
想請教這三題的想法。 PS.用手機排版 可能有點亂 請見諒。
回復 1# EZWrookie 的帖子
第3題直線\(y=x+1\)與圓O：\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10\)交於\({{F}_{1}},{{F}_{3}}\)，與\({{x}^{2}}=4y\)交於\({{F}_{2}}\left( 2-2\sqrt{2},3-2\sqrt{2} \right),{{F}_{4}}\left( 2+2\sqrt{2},3+2\sqrt{2} \right)\)
而\(F\left( 0,1 \right)\)在\(\overline{{{F}_{2}}{{F}_{3}}}\)上，\({{x}^{2}}=4y\)的準線是\(y=-1\)
先用根與係數算出\(\overline{{{F}_{1}}{{F}_{3}}}=\sqrt{38}\)，作\(\overline{OP}\)垂直\(y=x+1\)於P
\(\begin{align}
& \overline{OP}=\overline{PF}=\frac{\sqrt{2}}{2},\overline{F{{F}_{1}}}=\frac{\sqrt{38}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2},\overline{F{{F}_{3}}}=\frac{\sqrt{38}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \\
& \overline{F{{F}_{4}}}=4+2\sqrt{2},\overline{F{{F}_{2}}}=4-2\sqrt{2} \\
& \overline{{{F}_{1}}{{F}_{2}}}+\overline{{{F}_{3}}{{F}_{4}}}=\overline{F{{F}_{1}}}-\overline{F{{F}_{2}}}+\overline{F{{F}_{4}}}-\overline{F{{F}_{3}}}=\left( \overline{F{{F}_{1}}}-\overline{F{{F}_{3}}} \right)+\left( \overline{F{{F}_{4}}}-\overline{F{{F}_{2}}} \right)=5\sqrt{2} \\
\end{align}\) 提供三題，印象中，有誤請幫忙修正
1.一等比數列\( a_{n} \)，前n項總和為\( S_{n} \)，若\( S_{10}=10 \)，\( S_{30}=70 \)，求\( S_{40} \)
2.\( \displaystyle w=cos(\frac{2 \pi}{10})+i sin(\frac{2 \pi}{10}) \)，求以\( w,w^{3},w^{7},w^{9} \)為根的最低次多項式
3.已知\( (\log_{a}{x})^{2}+(\log_{a}{y})^{2}-\log_{a}{(xy)^{2}}\le 2 \)，若\( \displaystyle k=\log_{a}{(x^{2}y)} \)，求k的範圍
[[i] 本帖最後由 czk0622 於 2015-5-20 03:05 PM 編輯 [/i]]
回復 3# czk0622 的帖子
第2題\(w,{{w}^{3}},{{w}^{7}},{{w}^{9}}\)是-1的5次方根中，除了-1以外的其餘四個
故所求為\({{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1\)
104 陽明高中
初試：115 取 10複試：10 取 1 想請教填充題1.4.10
ps.填充題#1 算出來答案有150跟-200， 不知道為什麼-200不合
回復 2# EZWrookie 的帖子
填充1：數列每一項均為[b]"實數"[/b][[i] 本帖最後由 wrty2451 於 2015-5-22 06:23 PM 編輯 [/i]]
回復 7# wrty2451 的帖子
冠老師，方便在多提示一點嗎??我還是想不出跟-200跟實數矛盾的地方...
麻煩了。
回復 8# EZWrookie 的帖子
您應該是用這個方法做的易知 \(S_{10}, S_{20}-S_{10}, S_{30}-S_{20}, S_{40}-S_{30}\) 為等比數列
\(\left(S_{20}-10\right)^2=10\left(70-S_{20}\right)\)
\(\Rightarrow S_{20}=30\) or \(-20\)
若 \(\displaystyle S_{20}=\frac{r^{20}-1}{r-1}=-20\)，\(r\)為公比
\(\displaystyle \Rightarrow S_{10}= \frac{r^{10}-1}{r-1}=10\)
\(\Rightarrow r^{10}=-3, r^5=\sqrt{3}\, i\)
[[i] 本帖最後由 wrty2451 於 2015-5-22 11:28 PM 編輯 [/i]] 想請教填充10 ， 謝謝
回復 9# wrty2451 的帖子
謝謝冠老師。回復 10# 瓜農自足 的帖子
等角點落在以MN為弦的一側圓弧上。利用類似線性規劃的想法，圓與OB相切於P時，∠MPN最大，此時O在圓外。
由圓冪性質，OP² = OM*ON = 40
OP = 2√10
(題目可否不限制∠AOB是銳角?)
回復 12# cefepime 的帖子
想請問這裡的等角點的定義....??(google 過仍不清楚 )類似線性規劃的想法這邊也不懂...
可以請cafepime大再詳細說明嗎?(真是不好意思)
謝謝~ [size=2][b]回復 13# 瓜農自足 的帖子[/b][/size]
[size=2][/size]
[size=2]"等角點" 與 "類似線性規劃" 是我自己的說法，不好意思還讓您花時間去 google。[/size]
[size=2][/size]
[size=2]圖示如下:[/size]
[attach]2920[/attach]
[size=2]在直線 OA 右下區的半平面上，滿足 ∠MPN = ∠MQN 的所有 Q 點都位於圓弧MPN上(不含 M, N)，其逆亦真。[/size]
[size=2][/size]
[size=2]我們先從 M, N 之間的點 S 出發 (此時 ∠MSN = 180°)，往右下漸漸縮小∠MSN 的值 (圓半徑漸小→MN成為直徑→圓半徑漸大)，過程中當圓第一次接觸 OB 時的點 (切點) 就是所求的 P 點。[/size]
[size=2][/size]
[size=2]利用圓冪性質，OP² = OM*ON，因此 OP = 2√10。[/size]
[size=2][/size]
[size=2](題目限制∠AOB是銳角似乎是多餘的?)[/size]
[size=2][/size]
[size=2]另外，我覺得題目最好把 "OB 邊上" 改為"OB 射線上"，依題目的圖和敘述， "OB 邊" 似可解讀為"一線段"，這樣會有毛病。[/size]
回復 6# EZWrookie 的帖子
填充4我是這樣做. 將圖形座標化. O為原點, A(0,0,4), B(2,0,0) 則C為\((2\cos\theta, 2\sin\theta, 0)\)
1. 平面OAB的法向量\(\vec{n_1}=(0,1,0)\).
2. 平面ODC之法向量\(\vec{n_2}=\overrightarrow{OD}\times\overrightarrow{OC}=(-2\sqrt{3}\sin\theta,2\sqrt{3}\cos\theta,0)\)
3. 利用\(\vec{n_1},\vec{n_2}\)之夾角為\(\frac{\pi}{3}\), 得到\(\sin\theta\).
[[i] 本帖最後由 David 於 2015-5-24 11:07 AM 編輯 [/i]]
請問填充第6題
不好意思, 第六題我連題目都看不懂............ 抛物線到直線的距離=圓到直線的距離?????請問: 曲線到直線的距離是指????
[[i] 本帖最後由 David 於 2015-5-24 01:00 PM 編輯 [/i]]
回復 16# David 的帖子
有誤不吝指正回復 17# airfish37 的帖子
原來是看最近的那個點，thanks! 請教計算第3題，感謝~回復 19# airfish37 的帖子
計算3. 計算 \( f'(x) = 3(x-1)(x+1) \)，可得 \( f(x) \) 在 \( x=-1 \) 處有極大值 \( f(-1) =2 \), 在 \( x=1 \) 處有極小值 \( f(1) =-2 \)。當 \( -2 \leq a \leq 2 \), 方程式 \( f(x) = a\) 有三實根 \( \alpha, \beta, \gamma \)。
若 \( -2 \leq \alpha \leq 2 \)，則方程式 \( f(x) = \alpha \) 亦有三實根。
因此需要判別 \( \alpha, \beta, \gamma \) 是否會大於 \( 2 \) 或 小於 \( -2 \)
注意到 \( f(x) = f(2) = 2 \Leftrightarrow (x-2)(x+1)^2 = 0 \) 及 \( f(-2) = -2 \)
當 \( |a| \neq 2 \) 時，由勘根定理知方程式 \( f(x) = a \) 之三根分在 \( (-2,2) \)，令其三根為 \( \alpha, \beta, \gamma \Rightarrow f(x) -a = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \)
方程式 \( f(f(x)) - a = (f(x) - \alpha)(f(x) - \beta)(f(x)-\gamma) \)
因 \( \alpha, \beta, \gamma \) 皆屬於 \( (-2,2) \)，故 \( f(f(x)) = a \) 有 9 個實根
當 \( a=2 (-2) \) 時，三根為 \( -1,2,2 ( 1,-2,-2) \)，雖有重根，但論述同上，亦有 9 實根。
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