104木柵高工
填充：密碼鎖三碼，分別由1,2,3組成，數字可重複，且有順序性，
若猜中兩個數字對且位子也對即可打開(EX:密碼(1,2,3)，猜(1,1,3)可打開，猜(3,1,1)不可打開)
則最少要猜幾次方能保證打開？
我的想法是選兩個位子各猜1.2.3，9種可能中必能打開，不過印象中好像可以更少?
附計算證明
1.(1)玩家與電腦玩猜拳，電腦出剪刀石頭布的機率皆為1/3，某人出剪刀石頭布的比例為3:2:5，求某人第一次就猜贏的機率為？
(2)玩家與電腦玩猜拳，電腦出剪刀石頭布的機率皆為1/3，某人出剪刀石頭布的比例為a:b:c，求某人第一次就猜贏的機率為？(可用a.b.c表達)
不知道有什麼思考錯誤，這題不是不管如何，反正只要電腦出拳機率為1/3，那第一次猜贏的機率恆為1/3嗎?
2 .1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+......+1/39-1/40=b/a
若某質數P可整除b，則P為?(寫出一個即可)並證明之
個人覺得題目出錯了，沒寫(a,b)=1，因為可擴分，這樣會有無限多的質數可整除b
另外想請問這題實際該如何做?
我寫到1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+......+1/39-1/40=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+......+1/39+1/40)-2(1/2+1/4+1/6+...+1/40)=1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+......+1/39+1/40
然後就不會了
回復 1# rueichi 的帖子
填充密碼鎖：亂構造出 5 次：(1,1,1), (2,2,2), (3,3,2) (2,3,3), (3,2,3)說明：每組數字可開 7 組不同的密碼，而全部可能的密碼有27，因此至少要四次以上才有可能保證必定能開。
如果猜四組數字，有鴿籠原理可得必可找到其中兩組首位數字相同。而這兩組數字，可開的密碼會有重疊，分析可得這兩組數字至多開 12 個密碼。
再加上另兩組數字，可以的密碼，可得四組數字可開的密碼數不超過 26。
故四組數字時，必存在至少一組無法開啟的密碼
回復 1# rueichi 的帖子
計算第 1 題兩小題的答案都是\(\frac{1}{3}\)
計算第 2 題
的確要說明 a 和 b 互質，不然 P 可以是任意質數
做到\( \displaystyle \frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+\cdots +\frac{1}{40}\)後，就頭尾相加
易知 P 可為 61
回復 2# tsusy 的帖子
原來是這樣!太漂亮了!考完後有跑去查資料，都不甚理解，
看到寸絲老師簡單明瞭的解答終於懂了!
謝謝寸絲老師，學到寶貴的一課^_^
回復 3# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師我考試的時候也有想到前後項相加，只是那時加完腦筋秀逗，沒看出關係，
現在終於豁然開朗了~
104木柵高工 填充題 2題
1. P 為正三角形ABC 的內部一點，且PA=4, PB=6, PC=28^(1/2) 求正三角形ABC的邊長為多少?2.若a為實數，且對於所有的x皆滿足 \( \displaystyle \bigg|\frac{x^2+ax+3}{x^2+x+2}\bigg|<2\) 求a的範圍
想請教這兩題 謝謝
回復 6#
原來直接做就可以了想太多了
把錯的答案刪了
怕誤導大家
回復 6# EZWrookie 的帖子
第1題固定B點，旋轉三角形ABP，讓AB和CB重合
再利用餘弦定理可求出\(BC=2\sqrt{19}\)
第2題
\(\begin{align}
& \left| \frac{{{x}^{2}}+ax+3}{{{x}^{2}}+x+2} \right|<2 \\
& -2<\frac{{{x}^{2}}+ax+3}{{{x}^{2}}+x+2}<2 \\
& {{x}^{2}}+x+2>0 \\
& -2{{x}^{2}}-2x-4<{{x}^{2}}+ax+3<2{{x}^{2}}+2x+4 \\
& \\
& {{x}^{2}}+ax+3<2{{x}^{2}}+2x+4 \\
& {{x}^{2}}+\left( 2-a \right)x+1>0 \\
& {{\left( 2-a \right)}^{2}}-4<0 \\
& 0<a<4 \\
\end{align}\)
另一邊比照辦理
所求為\(0<a<4\)
回復 8# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師的解答但第一題旋轉後利用餘弦定理 這邊不太清楚。
假設選轉後的p點為\(P_1\)，那我有的角度是\(<PBP_1=60度\) 要怎麼求BC長呢
麻煩老師了
回復 9# EZWrookie 的帖子
旋轉60度解法[attach]2856[/attach]
補面積解法
[attach]2862[/attach]
暴力解法(在考場壓力下沒多少人會這樣做吧...)
[attach]2857[/attach]
相關例題可以參考B大的筆記XD
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1100&page=1#pid3050]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1100&page=1#pid3050[/url]
回復 10# wrty2451 的帖子
謝謝冠老師 撥冗回答。 104學年度第1次教師甄試初試試題（數學科）.pdf104學年度第1次教師甄試初試試題解答（數學科）.pdf
104.5.20版主補充
我將題目和解答移到第一篇去 1.
《天地明察》是有關和算家澀川春海的傳記故事，也納入澀川春海與同時代日本算聖關孝和的競爭，將數學知識活動，譬如解題與出題等對話，極為成功地融入故事情節之中。下圖是該小說裡一道數學題目的插圖：
在一勾九寸、股十二寸的直角三角形內，有兩個直徑相同的圓，彼此相切，與邊也相切，如上圖所示。試求這兩個相同圓的半徑為[u] [/u]。
(102台北市國中聯招，[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=3043#p9287[/url])
(103新北市高中聯招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1913&page=1#pid10879[/url])
洪萬生教授所寫的文章"《天地明察》：和算家澀川春海的數學故事漫畫"
連結已失效h ttp://museum.math.ntnu.edu.tw/fulltext/552_20121110173327.pdf
連結已失效h ttp://museum.math.ntnu.edu.tw/view.php?menuID=85
2.
設\( a \)為實數，若對於所有實數\( x \)，\( \displaystyle \bigg|\frac{x^2+ax+3}{x^2+x+2}\bigg|<2 \)恆成立，則\( a \)的範圍為[u] [/u]。
(102筆試二，臺灣師大大學部申請入學，[url]http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14[/url])
8.
若\( \cases{a+b+c=1 \cr a^2+b^2+c^2=2 \cr a^3+b^3+c^3=3} \)，則\( a^4+b^4+c^4= \)[u] [/u]。
(我的教甄準備之路 利用根與係數的關係解聯立方程式，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076[/url])
計算證明二
設\( a,b \)為正整數且\( \displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{39}-\frac{1}{40}=\frac{b}{a}. \)若有一質數\( P \)可整除\( b \)，則\( P \)可以為何(寫出一個即可)？並證明之。
If \( p \) and \( q \) are natural numbers so that:\( \displaystyle \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319} \),Prove that \( p \) is divisible by 1979.
(1979IMO，[url]http://artofproblemsolving.com/community/c3806_1979_imo[/url])
當初IMO題目也沒有分子分母要互質的條件 填充題詳解
話說這明明有印到證明題的答案，怎不全部公布出來呢?
計算2
如圖，分子為61的倍數回復 15# larson 的帖子
分子的質因數分解3637485804655193 = 61 * 757 * 3217 * 24486377
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