104全國聯招
雖然沒考到還是放上來討論一下^^
2015.05.14 weiye 註：官方公告疑義申複結果，填充題第 3 題 「1235」或「無解」均給分 [quote]原帖由 [i]johncai[/i] 於 2015-5-9 02:14 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13248&ptid=2252][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
雖然沒考到
還是放上來討論一下^^ [/quote]
填2: (秒殺題)
求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \sqrt{n^2-k^2}=\)[u] [/u]。
[解答]
原式=∫ {0 to 1} (1-x^2)^0.5 dx
所求=半徑1的圓面積*(1/4)
=Pi/4
計算1 :
(1)試將\(a^3+b^3+c^3-3abc\)因式分解。
(2)設\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)由(1)之結果，證明\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}\ge \root 3 \of{abc}\)。
(3)設\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)且\(a+b+c=18\)，由(2)之結果，試求出\((a+1)(b+2)(c+3)\)之最小值及此時之\(a\)，\(b\)，\(c\)之值。
[解答]
(1)a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
法1:行列式法
參考10樓
(2)a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(a+b+c)(1/2)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0
所以a^3+b^3+c^3>=3abc
(a^3+b^3+c^3)/3>=abc----------(*)
令A=a^3 ,B=b^3 ,C=c^3 代入(*)
(3) [(a+1)+(b+2)+(c+3)]/3 >=[(a+1)(b+2)(c+3)]^(1/3)
.....
計算2:
\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{BC}^2-\overline{AB}^2=\overline{AC}\times \overline{AB}\)，\(∠C=\)？
[提示]
考古題(97中一中)
角C=(180度-54度)/3 =42度
計算3:
若\(x\)、\(y\)、\(z\)都是正數且滿足\(\displaystyle x+\frac{1}{y}=4\)，\(\displaystyle y+\frac{1}{z}=1\)，\(\displaystyle z+\frac{1}{x}=\frac{7}{3}\)，求\(xyz\)的值？
[解答]
x+1/y=4------------(1)
y+1/z=1------------(2)
z+1/x=7/3---------(3)
(1)*(2)*(3)
(x+1/y)(y+1/z)(z+1/x)=xyz+1/(xyz)+x+1/y+y+1/z+z+1/x=28/3
[令t=xyz]
t+1/t+4+1+7/3=28/3
解得t=xyz=1 計算第一題(3)應該找最大值才對吧! 計算第一題(3)Ellipse大的算法應該求到最大值！不知道我有沒有弄錯，請指正！ 多選第一題的A
貫軸跟共軛軸互換
不是
X=0→Y=0
Y=0→X=0
還是說他是問貫軸長跟共軛軸長?
已解決
原來貫軸長=貫軸
只是常看到的都是XX軸長
使我自己造成名詞的混淆了 [quote]原帖由 [i]jyi[/i] 於 2015-5-9 08:03 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13254&ptid=2252][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算第一題(3)Ellipse大的算法應該求到最大值！不知道我有沒有弄錯，請指正！ [/quote]
Sorry,剛沒注意看.題目應該打錯了~
由(2)的結果是算最大值=512, 此時a =7, b= 6, c=5
此題無最小值~ 單選好難
請教(1)(3) (7)(8)
謝謝
回復 4# jyi 的帖子
(1)試將\(a^3+b^3+c^3-3abc\)因式分解。(2)設\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)由(1)之結果，證明\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}\ge \root 3\of{abc}\)。
(3)設\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)且\(a+b+c=18\)，由(2)之結果，試求出\((a+1)(b+2)(c+3)\)之最小值及此時
之\(a,b,c\)之值。
[解答]
計算1(3) 沒錯，你是對的。題目出錯了，我來負責這個錯的題目
因 \( a>0, b>0 \)，所以有
\( (a+1)(b+2) = ab + 2a + b + 2 > a+b+2 \)
同樣的 \( a,b,c > 0 \) 也有
\( (a+b+2)(c+3) = ac + bc + 2c + 3a +3b +6 > 2a + 2b +2c + 6 = 42 \)
故 \( (a+1)(b+2)(c+3) > 42 \)
取 \( a=b, c = 18-2a \)，當 \( a \to 0 \) 時，\( (a+1)(b+2)(c+3) \to 2\cdot 21 =42 \)
由以上兩式，知 42 為最大小界，且 \( (a+1)(b+2)(c+3) \) 恆大於 42
故在此限制條件下，\( (a+1)(b+2)(c+3) \) 無最小值
回復 7# arend 的帖子
單選第1題設\(a_n=\sqrt{1\times 2}+\sqrt{2 \times 3}+\ldots+\sqrt{n(n+1)}\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{n^2}\)之值為(A)0 (B)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (C)1 (D)\(\displaystyle \frac{3}{2}\)
[提示]
\(1+2+3+\cdots +n<{{a}_{n}}<2+3+4+\cdots +\left( n+1 \right)\) 計算1-(1)
試將\(a^3+b^3+c^3-3abc\)因式分解。
[解答]
法1:行列式法
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left|\ \matrix{a&c&b\cr b&a&c\cr c&b&a} \right|\)
\(=\left|\ \matrix{a+b+c&a+b+c&a+b+c \cr b&a&c\cr c&b&a} \right|\)
\(=(a+b+c)\left|\ \matrix{1&1&1\cr b&a&c\cr c&b&a} \right|\)
\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
回復 7# arend 的帖子
當下沒有想出來，一放鬆好多題幾乎一看都會做了XD果然不是考試型的
選擇1是否可以看成 Sigma 1/n 根號(k/n * k+1/n) = 積分 0~1 根號(x^2) = 1/2
選擇3 用角平分線先比出AD= 2/5 AB + 3/5 AC 伸縮K倍後 dot AB 即可算出K 今年感覺題目不難
可是好像多了點做不太完
請問其他老師有這個困擾嗎？ [quote]原帖由 [i]wuha0914[/i] 於 2015-5-9 09:10 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13262&ptid=2252][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
今年感覺題目不難
可是好像多了點做不太完
請問其他老師有這個困擾嗎？ [/quote]
還是有些秒殺題~多練題可提高解題速度~
像是單6
一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)，若\(a_1=1\)且\(\forall n \in N\)，\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{3}a_n+2\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n\)的值為(A)\(-3\) (B)\(\displaystyle -\frac{1}{3}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (D)3
[解答]
令所求為K
解K=(1/3)K+2
得K=3 ,秒殺 [quote]原帖由 [i]Home[/i] 於 2015-5-9 09:08 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13261&ptid=2252][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
當下沒有想出來，一放鬆好多題幾乎一看都會做了XD
果然不是考試型的
選擇1是否可以看成 Sigma 1/n 根號(k/n * k+1/n) = 積分 0~1 根號(x^2) = 1/2
[/quote]
應該不是~此題用夾擠定理~ [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2015-5-9 08:41 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13257&ptid=2252][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
單選好難
請教(1)(3) (7)(8)
謝謝 [/quote]
單(8)
\(\Delta ABC\)中，\(D\)為\(\overline{BC}\)上一點，設\(R_1\)、\(R_2\)、\(R_3\)分別為\(\Delta ABD\)、\(\Delta ACD\)、\(\Delta ABC\)的外接圓半徑，若\(R_1:R_2:R_3=1:2:3\)，則\(\overline{AB}:\overline{AD}:\overline{AC}=\)？(A)\(1:2:3\) (B)\(3:1:2\) (C)\(2:3:6\) (D)\(3:2:6\)
[解答]
令AB=a ,AC=b ,AD=d
由正弦定理
d/sinB=2R_1=(令)t>0
d/sinC=2R_2=(令)2t
得d=t*sinB=2t*sinC------------(1)
又a/sinC=b/sinB=2R_3=(令)3t
得a=3t*sinC,b=3t*sinB---------(2)
由(1)&(2)可知a=(3/2)d ,b=3d
a:d:b=(3/2):1:3=3:2:6
回復 15# Ellipse 的帖子
謝謝Ellipse老師,我做到一半,剩下幾分鐘就沒再想了,回家用別的發法也沒做出回復 7# arend 的帖子
單選第 7 題小明口袋裡有2個白球，大華口袋裡有3個紅球，現在兩人自口袋裡隨機取一個球和對方交換，求交換三次後，小明口袋裡有1白球1紅球的機率為(A)\(\displaystyle \frac{17}{36}\) (B)\(\displaystyle \frac{19}{36}\) (C)\(\displaystyle \frac{23}{36}\) (D)\(\displaystyle \frac{25}{36}\)
[解答]
用馬可夫鏈可做，但小弟懶得寫交換矩陣，交換三次而已，直接做
第一次交換後，小明必為一白一紅，大華必為一白二紅
第二次和第三次交換後，小明仍為一白一紅的情形有
(第二次小明拿出，第二次大華拿出)、(第三次小明拿出，第三次大華拿出)
(白，白)、(白，白)：機率 (1/2)(1/3)(1/2)(1/3) = 1/36
(白，白)、(紅，紅)：機率 (1/2)(1/3)(1/2)(2/3) = 2/36
(白，紅)、(紅，白)：機率 (1/2)(2/3)(1)(2/3) = 8/36
(紅，白)、(白，紅)：機率 (1/2)(1/3)(1)(1) = 6/36
(紅，紅)、(白，白)：機率 (1/2)(2/3)(1/2)(1/3) = 2/36
(紅，紅)、(紅，紅)：機率 (1/2)(2/3)(1/2)(2/3) = 4/36
加起來是 23/36
回復 2# Ellipse 的帖子
請教一下計算2我有算到a^2=c(b+c) 參考97中一中
但他直接下結論角A=2倍角C
這裡我不懂~~
是用兩倍角推的嗎??
回復 18# terry90618 的帖子
計算2.\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{BC}^2-\overline{AB}^2=\overline{AC}\times \overline{AB}\)，\(∠B=54^{\circ}\)，則\(∠C=\)？
相關考古題
100南科實中 \( \triangle ABC \) 中，若 \( (\overline{AB}+\overline{AC})(\overline{AB}-\overline{AC})=\overline{AB}\times\overline{BC} \)，\( \angle BAC=63^{\circ} \)，求 \( \angle ABC \)。
解答見 [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1153&page=1#pid3711[/url]
97台中一中 \( \triangle ABC \) 中，已知 \( (\overline{AC}+\overline{AB})\cdot(\overline{AC}-\overline{AB})=\overline{AB}\cdot\overline{BC} \) 且 \( \angle BAC=75^{\circ} \)，求 \( \angle ABC \)。
100卓蘭實中、98嘉義高中 已知 \( \triangle ABC \) 中最大角 \( \angle A \) 是最小角 \( \angle B \) 的 2 倍，且三邊長為連續的自然數，求 \( \triangle ABC \) 的三邊長。
100嘉義縣聯招 今有一三角形，其三邊長為連續整數且有一角另之兩倍。求此三角三邊長。
回復 10# Ellipse 的帖子
原來可以這樣記，感謝橢圓兄分享，我記憶力不太好，每次遇到都要現場導一次浪費時間～應該大家都是這樣做的：
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc\)
\(=(a+b+c)^3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b)-3abc\)
\(=(a+b+c)^3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)\)
\(=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3ac-3bc-3ab]\)
\(=(a+b+c)[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca]\)